拉普拉斯分布

如果隨機變數的機率密度函式分布如圖所示，那么它就是拉普拉斯分布，記為x-Laplace（μ,b)，其中，μ 是位置參數，b 是尺度參數。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度為 1/b(或者b，看具體指數分布的尺度參數形式) 的指數分布的一半。

基本介紹

• 中文名：拉普拉斯分布
• 外文名：The Laplace distribution
• 提出：拉普拉斯
• 發現時間：1774年
• 領域：數學
• 性質：指數分布
• 參數：位置參數，尺度參數

定義

設隨機變數 具有密度函式

其中 為常數，且 ，則稱 服從參數為 的拉普拉斯分布。

易見， ,且 ，

（令 ） = .

可見

確定了一個密度函式，

此外

.

如右圖給出了拉普拉斯分布的密度曲線（ ）。

拉普拉斯分布的密度曲線

拉普拉斯分布的若干性質

. (1)

則稱X服從參數為 （位置參數）和 （尺度參數）的拉普拉斯（Laplace）分布，記作 .

1.拉普拉斯分布的密度函式如式（1）關於 對稱，且在該點達到極大值 ，即是它的眾數。 越小曲線越陡， 越大曲線越平坦。它有兩個拐點 。

2.設 ，則它的分布函式為 .

3.設 ，則 .

4..設 ，則它的r階中心矩為 當r為奇數是其值為0，為偶數時其值為 。

5.設 ，則

.

6.設，則它的矩母函式和特徵函式為, .

套用

在近代統計中，穩健性占有重要的地位，例如在古典回歸分析中，用偏差平方和的大小作標準，來選擇回歸係數使它達到極小，這種回歸不具有穩健性，然而，如改為用偏差的絕對值和作為標準，卻具有穩健性.。於是研究隨機變數絕對值的分布是很有意義的. 設，可以證明，其中這是一個很有意思的結果。若X與Y獨立同分布於，則，上述兩個事實表明，若在回歸分析中假定服從拉普拉斯分布，並用絕對偏差和作為標準，可以導出很多良好的性質。

拉普拉斯分布與常態分配有一定的聯繫。 設 X , Y , Z ,W 獨立同分布於N（0，1），則

拉普拉斯分布和哥西分布之間有著非常有趣的聯繫。C (0,1) 的分布密度和特徵函式 分別為

而的分布密度和持征函式分別是

我們看到，C(0,1)的分布密度與的特徵函式有相同的形式 (僅差一個常數) ，而C (0,1)的特徵函式與的分布密度也有相同的性質(僅差一個常數) 。

設是總體的樣本，欲通過它們來估計和，將重排得,若n為奇數，用作為的估計；若n為偶數，則可用至之間的任何一個數來作為的估計，通常用

而的估計是：

若已知，則

若未知，則