偏差平方和

隨機變數X_ij與總平均數的偏差的平方和是刻畫試驗所得全部數據的離散程度的一個指標，因此，各個總體X_i(i=1，2，...，r)是否同分布，可以從偏差平方和中獲得信息，而偏差平方和中包含各總體之間所抽取數據的差異和隨機因素造成的試驗誤差兩部分信息，如果能把偏差平方和中的這兩部分信息分解出來並對其進行比較，就可以達到檢驗假設的目的。

基本介紹

• 中文名：偏差平方和
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：數理統計
• 相關問題：單因素試驗及其方差分析

基本介紹

在單因素實驗中，為了使造成各隨機變數之間的差異的大小能定量表示出來，引入：

記在水平下樣本和為，其樣本均值為因素A下的所有水平的樣本總均值為

為了通過分析對比產生樣本

之間差異性的原因，從而確定因素A的影響是否顯著，我們引人偏差平方和來度量各個體間的差異程度

因能反映全部試驗數據之間的差異，所以又稱為總偏差平方和。

偏差平方和的分解

如果成立，則r個總體間無顯著差異，也就是說因素A對指標沒有顯著影響，所有的可以認為來自同一個總體，各個間的差異只是由隨機因素引起的，若不成立，則在總偏差中，除隨機因素引起的差異外，還包括由因素A的不同水平的作用而產生的差異，如果不同水平作用產生的差異比隨機因素引起的差異大得多，就認為因素A對指標有顯著影響，否則，認為無顯著影響。為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然後進行比較。

記

則有下面的定理：

定理1(平方和分解定理) 令，有

表示在水平下樣本值與樣本均值之間的差異，它是由隨機誤差引起的，稱為誤差平方和或組內平方和。反映在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為因素A的效應平方和或組間平方和，式就是我們所需要的平方和分解式。

SE與SA的統計特性

如果成立，則所有的都服從常態分配，且相互獨立，則有：

定理2

(1) ，且，所以為的無偏估計；

(2) ，且，因此為的無偏估計；

(3) 與相互獨立；

(4)。