特徵值最佳化問題的理論和算法研究

《特徵值最佳化問題的理論和算法研究》是依託杭州電子科技大學，由張鄭芳擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：特徵值最佳化問題的理論和算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張鄭芳
• 依託單位：杭州電子科技大學

項目摘要

彈性材料設計和光子晶體帶隙結構最佳化均涉及特徵值最佳化問題求解。從數學模型上來說，兩類問題化簡後均出現兩類特徵值模型問題：一類是帶分片常數介電函式的負拉普拉斯運算元的特徵值問題；另一類是帶分片常數密度函式的負拉普拉斯運算元的特徵值問題。本項目從模型問題出發，首先克服不同材料幾何形狀、拓撲結構事先未知的困難，提出變異水平集方法和形狀微分方法，推導特徵值最佳化目標泛函對變異水平集函式的第一變分以及形狀導數。其次，針對質量、面積等約束條件提出最佳化方法，轉化為無約束問題。第三，對多重特徵值最佳化問題，建立新的目標泛函，以克服特徵值為多重時梯度型方法失效的局限性。最後，把模型問題的分析方法和數值算法推廣到兩類實際問題中，實現加筋設計問題、梁的設計問題、懸臂的設計問題以及光子晶體的帶隙結構最佳化問題在二維、三維中的數值模擬計算。

結題摘要

彈性材料設計和光子晶體帶隙結構最佳化均涉及特徵值最佳化問題求解。從數學模型上來說，兩類問題化簡後均出現兩類特徵值模型問題：一類是帶分片常數介電函式的負拉普拉斯運算元的特徵值問題；另一類是帶分片常數密度函式的負拉普拉斯運算元的特徵值問題。本項目主要完成了以下四方面的工作：第一、研究特徵向量的局部最佳化和特徵向量的反演問題，在連續方程意義下，推導目標泛函的第一變分，設計梯度型算法。第二、研究特徵值最佳化和反演問題，證明了最佳化問題解的存在性，穩定性，收斂性，設計共軛梯度算法。第三、研究非線性電磁場反演問題，推廣分片常數水平集函式方法在非線性問題上的套用。第四、研究光子晶體的帶隙結構最佳化問題，通過構造敏感性擾動方程和原橫向磁場（TM）和橫向電場（TE）的兩個復特徵值問題，推導目標函式關於密度函式的第一變分。