《若干張量特徵值互補與相關多項式最佳化問題理論與算法》是依託杭州電子科技大學，由凌晨擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：若干張量特徵值互補與相關多項式最佳化問題理論與算法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：凌晨
- 依託單位：杭州電子科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
張量特徵值互補是一類內容新、涵蓋面寬、理論豐富的結構型問題，它不僅在一類微分包含問題研究中有套用，且與多項式最佳化密切相關，矩陣特徵值互補和張量特徵值問題是其特例。將採用張量分析(如分解、譜理論等)與最佳化方法(如對偶、鬆弛等)相結合的技術，以張量一次特徵值互補和相關齊次多項式最佳化為切入口，逐步展開對張量高次特徵值互補和相關多重齊次多項式最佳化的研究。內容包括：(1) 建立張量特徵值互補問題解的性質(包括存在性和結構理論、誤差估計等)和相關多項式最佳化的局部和全局最最佳化理論(包括最優性條件、近似分析等)；(2) 利用適當轉化和各種鬆弛方法，在將原問題轉化成相應的多項式最佳化基礎上，估計錐特徵值及其個數、設計各相關最佳化模型的全局近似算法(如PTAS算法)並進行近似分析；(3)採用交替方向法和投影技術相結合思路，設計求解張量特徵值互補的有效算法、分析收斂性質，並套用於源自複雜網路最佳化設計問題的相關模型。
結題摘要
張量特徵值互補是一類特殊的張量計算問題，它與多項式最佳化密切相關，矩陣特徵值互補和張量特徵值問題是其特例。第一，提出了張量高次特徵值互補問題的一般模型，該模型是廣義張量特徵互補問題、矩陣二次特徵值互補問題的推廣。研究解的存在性定理、對稱張量特徵值互補的多項式最佳化等價模型、二階錐上的高階張量特徵值互補問題和嚴格半正張量特徵值互補問題的Pareto-譜估計等，設計了非對稱情形的投影算法、線性化ADMM法，並進行了相關的數值實驗。第二，在研究4重齊次多項式最佳化問題全局最優值估計的基礎上，給出了一個求解其全局最優解的PTAS算法，較大改進了現有近似界的結果。第三， 在閉凸錐上，定義了若干結構張量，並討論了這些結構張量相互間的關係。證明了張量互補問題解的存在性及解集的緊性和解的穩定性等相關拓撲性質。研究了多項式互補問題，證明了當最高次項係數張量為ER-張量時，其解集為非空緊。分析了當係數張量為嚴格半協正張量時解的下界，從而得到解集的誤差界結論。第四，考慮了求解張量方程問題，證明了求解這樣的方程等同於求解具有P-函式的非線性方程組，提出了一種牛頓型算法，並證明當係數張量為非奇異M-張量、常數向量為正向量時，算法產生的點列二次收斂於原方程的唯一正解。隨機產生的數值算例說明了算法的有效性和穩定性。第五，研究若干可求解特殊最佳化問題的數值算法、收斂性理論，並用於張量（特徵值）互補問題：(1)部分並行分裂算法、(2)縮放梯度投影算法、(3)解分裂可行性問題的CQ算法、（4）原始-對偶預測-校正算法、（5）基於LQP正則化子問題的兩步投影法。
