《對稱張量特徵值問題的最佳化算法及套用》是依託北京工業大學，由郝春林擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：對稱張量特徵值問題的最佳化算法及套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：郝春林
- 依託單位：北京工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對稱張量的特徵值問題是一個基本而重要的數學問題，它在自動控制、核磁共振成像、量子物理等許多領域都有廣泛的套用, 得到了越來越多的中外專家的關注。但是由於這類問題是非常困難的，目前理論和實際效果都非常好的算法比較少。本項目擬採用非線性最佳化和多項式最佳化的思想和方法來設計求最大和最小Z特徵值的算法：①在子空間投影方法的基礎上，設計求最大Z特徵值的牛頓子空間投影算法、序列二次規劃方法；②用多項式最佳化的方法，研究對稱張量前k個最大Z特徵值的算法(也適用於H特徵值和D特徵值)；③用子空間投影方法分別設計求四階對稱張量標準型、求點到由四階對稱正定張量定義的代數超平面的距離的算法；④研究量子信息處理中張量的量子特徵值與基的量子特徵值之間的關係，擬設計基於子空間投影方法的算法，同時建立相關算法的收斂性理論。總之，本項目將採用最最佳化的思想和方法來研究對稱張量特徵值的算法及其在量子信息處理等領域中的套用。
結題摘要
十幾年前，張量特徵值問題開始萌芽，之後越來越多的人進入這一領域，現在已經有一些研究結果和相對完整的研究體系，但是遠遠不夠成熟。中國學者為此做了大量的工作，當然還有很多待研究的問題。張量在實際問題中有很多的套用，例如醫學核磁共振，和人們的生活密切相關；在新科技人工智慧中，TensorFlow逐漸被人接受，裡面有大量的張量方面的問題，這些都促使學者們加快研究速度。本項目從最最佳化的角度，將張量特徵值問題轉化為帶特殊約束的最最佳化問題，用最最佳化的一些經典有效算法進行研究，為張量特徵值的計算尤其是較大規模張量的特徵值問題提供有效的算法。本項目的主要研究結果和研究意義如下： （1）從算法的角度，對稱張量Z特徵值問題，給出了兩個求Z特徵值的算法，序列子空間投影方法SSPM和可行信賴域方法FTR；對稱張量全部實特徵問題，給出了一個基於半定規劃的算法。 （2）從算法理論角度，我們證明了在一定條件假設下序列子空間投影方法SSPM和可行信賴域方法FTR的全局收斂性，證明了SSPM的局部線性收斂速度和FTR的局部二次收斂速度。 （3）從數值試驗的角度，經過初步的數值實驗表明，SSPM和FTR可以求解較大規模的問題，例如4階100維的張量，5階50維的張量。基於半定規劃的方法，由於半定規划子問題求解需花一些時間，因此可以給出較小問題(維數小於10)的全部實特徵值但計算時間相對較長。 （4）從開拓新的研究領域的角度，我們研究了線性系統的稀疏解與最小l_0範數非負解在一定條件下的等價性，為後續的張量系統的求解和套用奠定基礎。 （5）從研究結果的價值角度，為張量特徵值計算提供了新的方法和方向。目前已有不少學者在本項目的研究結果基礎上做進一步的深入研究。例如喻高航教授給出了非精確求解SSPM方法，通過非精確求解子問題，提高算法的計算效率。我們課題組則給出了非精確求解FTR方法，一方面提高計算效率並且可以求解張量的廣義特徵值。
