《張量的低秩逼近及其套用》是依託湖南大學，由白敏茹擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：張量的低秩逼近及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：白敏茹
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
隨著現代科學技術的發展，需要處理的數據量變得非常巨大，在這些海量數據中又包含大量的諸如視頻圖像、高光譜遙感圖像、量子糾纏等高維數據，其本質上是高階張量數據。由於高階張量數據往往具有低秩屬性，張量的低秩逼近成為高維數據信號識別、壓縮和恢復的一個重要手段。如果按照傳統的數據處理方法將張量數據轉換為非常長的向量或矩陣來實現，必然帶來巨大的計算和存儲負擔，同時也會喪失張量所固有的幾何、統計與非線性度量性質。為此，本課題將開展張量低秩逼近理論和方法及其套用研究，研究內容包括：張量最佳秩r逼近；張量低秩恢復；張量低秩逼近理論和方法的套用，特別是在高維圖像處理中的套用研究。通過本課題的研究，為高維數據信號和圖像的識別、壓縮和恢復提供更加高效的方法和理論基礎，也為處理海量數據提供理論指導和技術支撐。
結題摘要
本項目針對高維數據的識別、壓縮和恢復問題，開展張量的低秩逼近及其套用研究，分別從張量最佳秩r逼近、張量低秩恢復、以及張量低秩逼近理論和方法的套用等三個方面進行系統研究，為高維數據的壓縮、識別和恢復提供更加高效的方法和理論基礎，也為處理海量數據提供理論指導和技術支撐。獲得的主要研究成果如下：1．建立帶球約束的多復變數的實值最佳化問題的最佳化算法和理論，構建復張量最佳秩1逼近和特徵值的計算方法，為解決量子信息中的量子糾纏的測度和計算等問題提供有效的途徑和方法。2．分別對張量完備化問題和具有噪音的張量完備化問題，提出張量秩校正模型，建立誤差界理論，基於誤差界理論，提出自適應校正方法；建立校正模型的多個Block的交替方向方法，為高維圖像的恢復提供理論方法和技術支撐。3．對於帶脈衝噪音的圖像恢復，提出了TVL1的校正模型，建立了多步校正的方法，極大提高稀疏度和圖象恢復恢復的精度；進一步，提出帶脈衝噪音的圖像恢復的非凸最佳化模型和DC方法，一定程度上說明了多步校正收斂到該非凸模型。4．建立了張量特徵值的上界和下界，提出了張量的Moore–Penrose逆 的概念：證明了張量Moore–Penrose 逆的存在性了唯一性，利用快速傅立葉變換，提出了張量Moore–Penrose 逆的計算方法，為張量特徵值研究提供了理論基礎和計算基礎。通過四年的研究，課題組培養博士生3名，碩士生12名，其中1人博士論文被評為湖南省優秀博士論文；在包括一區和二區國際頂尖期刊（如：SIAM Journal on Imaging Science, Inverse Problems, Journal of Scientific Computing，Journal of Global Optimization等）上發表論文13篇，其中 SCI 檢索11篇，SIAM Journal on Imaging Science上3篇。總的來說，該研究達到了預期研究目的，這些研究成果能夠為高維數據的識別、壓縮和恢復提供理論基礎和技術支撐，不僅具有理論意義，而且具有廣闊的套用前景。
