《幾類反二次特徵值問題的數值最佳化方法》是依託華僑大學，由陳梅香擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：幾類反二次特徵值問題的數值最佳化方法
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：陳梅香
- 依託單位：華僑大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究利用數值最佳化算法來求解帶結構約束的反二次特徵值問題，包括模型修正問題和二階控制系統中的部分極點配置問題。一方面我們將研究基於精確特徵信息下的模型修正問題，提出使求得的矩陣能同時滿足半正定性、稀疏性、內部連通性等結構約束的數值最佳化算法，且當矩陣的規模較大時，算法也要同樣適用；再進一步考慮基於不精確特徵信息下的模型修正問題。另外一方面，我們還將研究基於回響率信息下的二階多輸入控制系統的部分極點配置問題的數值最佳化方法，充分利用實驗測得的回響率信息求得反饋矩陣，使所得的反饋矩陣的範數最小而且保證得到的新系統的穩定性較高。
結題摘要
ADMM（the alternating direction method of multipliers）算法不是一個很新的算法，卻是一個比較好實施的算法。因此在近期的研究當中，該算法被廣泛套用於各個領域的最佳化問題。本項目將數值線性代數中的反特徵值問題及求解滿足某些條件的雙隨機矩陣問題，轉化為數值最佳化問題，並利用ADMM算法來求解相應的數值最佳化問題。對於反特徵值問題，我們研究的是基於不精確特徵信息的反特徵值問題，並且要求所求得的矩陣為半正定的，目前我們已經從理論上給出了套用ADMM算法求解該問題的可行性及各個子問題的求解方法，但數值實驗的結果還不是很理想，需要進一步的研究。對於雙隨機矩陣問題，我們研究的是求解一個雙隨機矩陣，使求得的矩陣在F-範數的意義下與給定的矩陣最接近，且其第一行第一列的元素與給定矩陣第一行第一列的元素相等，第一行與第一列對應元素乘積的和相等。我們已經從理論上給出了該問題有解的一個充分條件，並給出了將ADMM算法套用與該問題的具體實現的步驟，及每一個子問題的解的形式，我們也進行了一系列的數值實驗，數值實驗的結果也驗證了該算法的有效性。目前該問題的成果已經整理完成，並在投稿中。接下來，我們還會繼續研究將ADMM算法套用到其他的結構矩陣（如Toeplitz矩陣等）的求解中。 另外，本項目也進行了生物模型方面的研究，考慮了二階非線性周期系統 ，其中 為合作矩陣， 通過對該系統進行特徵根分析和全局收斂性分析，得到系統局部穩定和全局收斂的充分條件，並通過編寫算法做數值分析，驗證了相應的理論結果，該成果發表在《套用數學學報》上。隨後，我們又將該系統推廣到二階非線性反應擴散周期合作系統中，得到相應的理論結果和數值結果，並將該成果投稿到《Mathematical and Computer Modelling》中。
