《概周期KAM理論及其套用》是依託四川大學，由劉建軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：概周期KAM理論及其套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉建軍
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
上世紀八十年代末至今，無窮維哈密頓系統的KAM理論蓬勃發展，在有限維不變環面和時間擬周期解方面取得大量成果，不僅廣泛套用於有界擾動情況，還發展出處理無界擾動的KAM理論，套用於非線性部分含有空間導數的偏微分方程。相比之下，研究哈密頓偏微分方程無窮維不變環面和時間概周期解的概周期KAM理論發展較慢，至今只有處理有界擾動的結果，並且一些重要的基本問題尚未解決（比如多項式衰減的KAM環面存在問題）。本項目將致力於發展無窮維哈密頓系統的概周期KAM理論，第一個主要目標是建立環面較慢衰減乃至多項式衰減的概周期KAM定理，並套用於一個或多個有意義的偏微分方程，第二個主要目標是建立能處理無界擾動的概周期KAM定理，並套用於非線性部分含有空間導數的哈密頓偏微分方程，其中包括證明KdV方程的infinite-gap解在哈密頓擾動下的保存性。
結題摘要
本項目主要研究了哈密頓偏微分方程的概周期KAM理論以及與其密切相關的有限維KAM環面的存在性和長時間穩定性，包括：用無界KAM理論研究一維周期邊條件的導數非線性薛丁格方程，得到小振幅擬周期解構成的不變Cantor流形；對非線性波方程和非線性薛丁格方程，證明了KAM環面的多項式長時間穩定性；對一維周期邊條件的非線性薛丁格方程，證明了一般次指數衰減的無窮維KAM環面的存在性和長時間穩定性。這些研究不僅完善和發展了KAM理論本身，還促進人們更深刻地了解這些有重要物理意義的方程的動力學性質。
