《KAM理論在劉維爾頻率的擬周期系統中的套用》是依託南京理工大學，由王婧擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：KAM理論在劉維爾頻率的擬周期系統中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王婧
- 依託單位：南京理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
擬周期微分動力系統在動力系統和數學物理中具有重要作用，描述了物理中許多有趣和基本的現象，如準晶體結構、量子霍爾效應和多頻振子的振動等。其中系統的定性理論和相應運算元的譜性質是動力系統中研究的基本課題。. 自20世紀50年代發展至今，KAM理論在近可積保守動力系統的研究中發揮了重要作用：KAM理論說明了完全可積系統中攜帶擬周期運動的不變環面，在擾動下大部分仍然被保持。現在，KAM理論已經成為對許多動力系統進行系統分析的強有力的工具。然而，由於小分母問題的出現，經典的KAM理論只能處理丟番圖頻率的系統，在劉維爾頻率的擬周期系統中的研究成果相對較少，有待進一步發展。本項目擬利用KAM理論對劉維爾頻率的擬周期系統的約化問題和相應運算元的譜性質方面的幾個重要問題進行深入研究。
結題摘要
擬周期動力系統由於其廣泛的數學物理背景，如薛丁格運算元的譜理論、擬水晶結構、量子霍爾效應等，近些年受到數學和物理學家的廣泛關注。本項目主要利用推廣的KAM理論和多尺度分析等方法，從以下三個方面對擬周期線性系統及非線性系統進行了研究：首先，我們考慮了非超劉維爾頻率的解析擬周期驅動圓周流的線性化問題，證明了當系統靠近常值旋轉時，如果纖維旋轉數關於底頻是丟番圖的，那么系統是C^∞旋轉線性化的；同時，我們還證明了在該類系統中，鎖模的系統是局部稠密的。其次，我們研究了多頻擬周期薛丁格cocycle的約化和相應運算元絕對連續譜的存在性問題，證明了當頻率滿足弱劉維爾條件時，如果系統的纖維旋轉數關於底頻是丟番圖的，系統的局部C^∞旋轉可約性，進而證明了運算元絕對連續譜的存在性。最後，我們還研究了擬周期驅動圓周映射中鎖模平台的稠密性問題。利用多尺度分析的方法，我們證明了一維丟番圖頻率驅動的擬周期C^1圓周映射，在某些開條件下，具有無窮多個鎖模平台；同時，利用構造的方法，我們還研究了在拓撲通有情況下鎖模平台的稠密性問題，證明了對於滿足扭轉條件的通有參數族的擬周期驅動圓周同胚，其旋轉數關於參數是一個魔鬼的階梯；我們還考慮了丟番圖頻率驅動的一維保向C^1圓周微分同胚的幾何結構，證明了存在關於該類單參數族的微分同胚的一個非空開集，對於其正測度的參數而言，系統的不變測度是1-可求長的。
