極小曲面(物理學概念)

在數學中，極小曲面是指平均曲率為零的曲面。舉例來說，滿足某些約束條件的面積最小的曲面。 物理學中，由最小化面積而得到的極小曲面的實例可以是沾了肥皂液後吹出的肥皂泡。肥皂泡的極薄的表面薄膜稱為皂液膜，這是滿足周邊空氣條件和肥皂泡吹制器形狀的表面積最小的表面。

基本介紹

• 中文名：極小曲面
• 外文名：minimal surface
• 學科：數理科學
• 套用領域：計算機仿真，建築設計

簡介

平均曲率為零的曲面。平均曲率定義為：，其中 表示兩個主曲率。給定一條閉曲線，可以構想蒙在這條閉曲線上的所有曲面中，有一個面積最小者，這個具有最小面積的曲面正是極小曲面。平面是僅有的極小可展曲面。除平面外，旋轉極小曲面都是懸鏈面，直紋極小曲面都是正螺面。

圖1.極小曲面的例子

極小曲面的經典例子包括：

1）歐幾里得平面，無特別約束條件下最平常的極小曲面；

2）懸鏈曲面：由懸鏈線圍繞其水平準線旋轉而得到的曲面。這是最早發現的“不尋常”的極小曲面。懸鏈曲面狀的皂液膜可以由將兩個等大的圓環緊貼放入肥皂水中，拿出後再緩慢分開得到；

3）螺旋曲面：一個線段沿著垂直於其中點的直線勻速螺旋上升時掃過的曲面。這是繼懸鏈曲面後發現的第二種不尋常的極小曲面；

4）恩內佩爾曲面。

定義

給定一個嵌入曲面，或更一般的，一個浸入曲面（其邊界一般固定，但不一定有界），定義其平均曲率如下：

令 是曲面 上一點，考慮 上過 的所有曲線 。每條這樣的 在 點有一個伴隨的曲率 。在這些曲率 中，至少有一個極大值 與極小值 ，這兩個曲率 稱為 的主曲率。

的平均曲率是兩個主曲率的平均值，由歐拉公式其實也是所有曲率的平均值，故有此名。

而極小曲面是指每一點上的平均曲率都是0的曲面。這種曲面的研究始於有關滿足一定的約束條件（比如邊界固定或容納體積滿足一定條件）下表面積最小的曲面，因此被稱為“極小曲面”。實際上極小曲面所囊括的內涵比此類最小面積曲面更廣泛。極小曲面的定義還可以擴展到恆定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等於某個常數的點組成的子曲面。當這個常數等於零的時候， 恆定平均曲率曲面就是極小曲面。極小曲面是平均曲率流的臨界點。

與布朗過程的聯繫

極小曲面上的布朗過程可以用於某些極小曲面相關定理的機率證明。

相關研究

著名的普拉托實驗是把圍成封閉曲線的金屬絲放入肥皂溶液中，然後取出來，由於表面張力的作用，在它上面就蒙有表面積最小的薄膜。這種表面積最小的曲面就是所謂極小曲面，從數學上求這膜曲面的問題稱為普拉托問題。這個問題可以用變分法來解。

從變分學觀點看，可以考慮以已知閉曲線Γ為固定邊界的曲面的法向變分。由歐拉-拉格朗日方程(見變分法)，對於任何這樣的變分,曲面面積達到臨界值的充要條件是曲面的平均曲率為0。因此，通常就用這個幾何條件來定義極小曲面。

在三維歐氏空間中，若一張曲面可用方程來表示，則稱它為圖，或非參數化曲面。由極小條件，中極小圖的滿足下述二階非線性橢圓型微分方程：

通常稱它為極小曲面方程。

圖2.極小曲面