射影極小曲面

射影極小曲面(projective minimal surface)是射影曲面論的基本元素之一。這個定義是湯姆森(Thomson，G.)於1928年給出的。射影極小曲面有許多特徵。

基本介紹

• 中文名：射影極小曲面
• 外文名：projective minimal surface
• 領域：數學
• 學科：射影曲面論
• 性質：變分問題的解曲面
• 提出者：湯姆森

概念

射影極小曲面(projective minimal surface)是射影曲面論的基本元素之一。變分問題：

的解曲面。這個定義是湯姆森(Thomson，G.)於1928年給出的。射影極小曲面有許多特徵，例如：

1.射影極小曲面的射影極小曲線(曲面關於伴隨二次曲線K₂的非歐線素ds²=0給出的兩族曲線)構成共軛網。

2.射影極小曲面的切平面關於對應的伴隨二次曲面的極在對應的李二次曲面上。

3.射影極小曲面的德穆林變換是可逆的。

射影微分

射影微分幾何學(projective differential geometry)從屬於射影變換群。其思想來源於C.F.克萊因1872年的著名演說“埃朗根綱領”，在那裡將幾何學歸結為可逆變換群的幾何不變數理論加以分類。研究的對象主要是曲線、曲面、共軛網等在射影變換群下的不變數、協變圖形及其性質。

射影微分幾何是從屬於射影變換群的微分幾何，在達布的著名的曲面論中已含有它的萌芽，它主要是在20世紀初期按照克萊因的思想展開的，到20世紀40年代趨於完善。主要研究對象是曲線、曲面和共軛網等在射影變換群下的不變數、協變圖形及其性質。

射影微分幾何的研究方法大致有下列三種：

第一種是以富比尼(G.Fubini)為首的義大利學派的方法。以曲面論為例，設是三維射影空間中齊次坐標，是曲面S的參數表示，用一種射影不變的方法確定的比例因子，得到富比尼規範坐標，構造二次和三次形式：

式中和普通曲面論中第二基本形式只相差一個因子，於是定義了曲面的兩族漸近曲線，和滿足配極關係，定義曲面的三族達布曲線，這兩個基本形式的係數滿足一系列關係式，即曲面的基本方程，同普通曲面論一樣，可導出射影曲面論的基本定理。

第二種是嘉當(E.Cartan)的活動標架法。嘉當用活動標架法重建射影曲面論，問題歸結為普法夫方程組，可積條件即嘉當結構方程，從而導出許多結果，近年來，用嘉當方法發展起來高維射影空間共軛網理論。

第三種是以蘇步青為首的中國學者開創和發展的結構式射影微分幾何方法，主要是用幾何作圖法來建立射影協變的構圖和不變數。例如用平面曲線在其某種奇點的不變數來表達其他的幾何不變數。

共軛網

共軛網是射影曲面論的重要概念之一。n維射影空間Pⁿ中曲面上一種曲線網，在其中一族的每條固定曲線上各點做另一族各曲線的切線構成一個可展曲面。曲面x=x(u，v)具有共軛網(u，v)的充分必要條件是x滿足拉普拉斯方程：

其中a，b，c是u，v的函式。

李二次曲面

李二次曲面是射影曲面論中重要元素之一。一種射影協變的二次曲面。設Γ和Γ-是曲面S上交於正常點O的兩條漸近曲線，Γ和Γ-的漸近直紋面都有一個是切線曲面。李(Lie，S.)證明：Γ的另一漸近直紋面沿Γ-的切線的密切二次曲面(Γ在O的漸近密切二次曲面)和Γ-的另一漸近直紋面沿Γ的切線的密切二次曲面(Γ-在O的漸近密切二次曲面)重合。這個二次曲面稱為李二次曲面。

德穆林四邊形

德穆林四邊形是一種射影協變四邊形。德穆林(Demoulin，A.)於1908年研究李二次曲面時得到。當點M在曲面S上變動時，相應的李二次曲面有∞²個，八個包絡面中有四個與S重合，其餘四個與M點的李二次曲面切於另外四點.這四點形成的四面體稱為曲面S在M的德穆林四面體，這四點對應的四條直線是李二次曲面的母線，構成的空間四邊形稱為德穆林四邊形。點M變動時，四點的軌跡稱為S的德穆林變換。