普拉托問題

在空間內以給定的閉曲線為邊緣張以肥皂膜時，表面張力使膜穩定在表面積為最小的狀態。這刺激了科學家對極小曲面的研究。因此，極小曲面問題又稱為普拉托問題。

基本介紹

• 中文名：普拉托問題
• 外文名：Plateau problem
• 適用範圍：數理科學

簡介

1873年，普拉托(Plateau,J.A.F.)曾用實驗的方法顯示極小曲面。在空間內以給定的閉曲線為邊緣張以肥皂膜時，表面張力使膜穩定在表面積為最小的狀態。這刺激了科學家對極小曲面的研究。因此，極小曲面問題又稱為普拉托問題。

實驗過程

著名的普拉托實驗是把圍成封閉曲線的金屬絲放入肥皂溶液中，然後取出來，由於表面張力的作用，在它上面就蒙有表面積最小的薄膜。這種表面積最小的曲面就是所謂極小曲面，從數學上求這膜曲面的問題稱為普拉托問題。

求解

極小曲面是一種特殊曲面。張在給定的空間閉曲線Γ上有最小面積的曲面稱為極小曲面。

在非參數情形下，求極小曲面的問題可以化為求曲面面積泛函

的極小值，其中Ω是曲面在x₁x₂平面上的投影，u是曲面上的點到x₁x₂平面的距離，

由相應的歐拉-拉格朗日方程可以推出極小曲面的平均曲率處處為零。

由此可見，普拉托問題可以用變分法來解。從變分學觀點看，可以考慮以已知閉曲線Γ為固定邊界的曲面的法向變分。由歐拉-拉格朗日方程，對於任何這樣的變分，曲面面積達到臨界值的充要條件是曲面的平均曲率h為0。因此，通常就用這個幾何條件來定義極小曲面。