主曲率

過曲面上某個點上具有無窮個正交曲率，其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為極大，這個曲率為極大值K_max ，垂直於極大曲率面的曲率為極小值K_min。這兩個曲率屬性為主曲率。他們代表著法曲率的極值。

基本介紹

• 中文名：主曲率
• 外文名：Principal curvature
• 學科：數學
• 屬性：法曲率的極值
• 性質：正交曲率
• 相關名詞：平均曲率

簡介

過曲面上某個點上具有無窮個正交曲率，其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為極大，這個曲率為極大值 ，垂直於極大曲率面的曲率為極小值 。這兩個曲率屬性為主曲率。他們代表著法曲率的極值。

曲率的分類

平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三個基本要素。

主曲率和主方向

對曲面S : r = r(u, v)上一給定點P₀(u₀, v₀)，法曲率k_n是切方向d_u : d_v的函式，稱法曲率的每個臨界值(critical value)為曲面在這一點的主曲率；對應的方向稱為曲面在這一點的主方向。

定理

定理1

曲面在非臍點處，兩個主方向互相垂直。

定理2

曲面上一點由方程 所確定的兩個切方向互相垂直的充要條件是 ，這裡E、F、G是曲面的第一類基本量。

證明：兩個方向du:dv和δu:δv 正交的充要條件是

換一種寫法即

將已知的二次方程寫成

將 是它的兩個根，且均應滿足上述方程，由根與係數的關係知

將上式代入式（1）即得引理。

定理3

曲面在非臍點處的主曲率是曲面在這點沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

證明：設k₁、k₂ 是兩個主曲率，不妨設k₁<k₂ (否則可交換坐標u和v )，由Euler公式

所以

即

同樣的方法，可以證明k_n≥ k₁，即

這就是說，主曲率是法曲率的最大值和最小值。

高斯曲率

定義

兩個主曲率的乘積 即為高斯曲率，又稱總曲率或全曲率，反映某點上總的彎曲程度。 記為

高斯曲率k的絕對值有明顯的幾何意義。設Δб是曲面上包含P點的一小片曲面（其面積仍用Δб表示），把Δб上的每點的單位法向量n平移到E3的原點O處，那么n的終點 的軌跡是 以O為中心的單位球面S2上的一塊區域 Δб* 。這個對應稱為高斯映射。曲面在P點鄰近彎曲程度可用Δб*( 其面積仍用Δб*表示）與Δб的面積比刻畫。

曲面造型上的套用

因為高斯曲率實際反映的是曲面的彎曲程度，因此在三維CAD軟體中都把高斯曲率分析作為分析曲面造型中內部

曲面質量和連線情況的主要依據。當曲面的高斯曲率變化比較大比較快的時候表明曲面內部變化比較大也就意味這曲面的光滑程度越低，而兩個連線的曲面如果在公共邊界上的高斯曲率發生突變就表示兩個曲面的高斯曲率並不連續，通常也叫曲率不連續，說明兩個曲面的連線沒有到達G2連線質量。

在三維CAD軟體中，通常都是使用曲面表面的顏色分布和變化來表示曲面高斯曲率的分布，比如ProE軟體便是如此，通過這些顏色的變化就可以直觀地知道曲面的高斯曲率的變化，而顏色的突變就表示高斯曲率的突變。

平均曲率

定義

稱(k₁ + k₂)/2為曲面在一點處的平均曲率，記為

它描述了曲面在一點處的平均彎曲程度，又稱為中曲率。

根據韋達定理，由主曲率的計算公式，易知

推論

曲面在橢圓點處K > 0，雙曲點處K < 0，拋物點處K = 0。