等參超曲面

等參超曲面(isoparametric hypersurface)是一類曲面，它是等參函式的等位面。等參函式F是滿足下列性質的函式：F的梯度的模長平方|▽F|²和F的拉普拉斯運算元ΔF都僅是F本身的函式。在空間形式中，等參超曲面M的特徵是M具有常數主曲率。等參超曲面的測地平行超曲面也是等參的，對於c≤0的空間形式，其等參超曲面的不同主曲率的個數最多是2。在球面上，等參超曲面的不同主曲率的個數只可能是1，2，3，4或6，它們都是代數曲面。

基本介紹

• 中文名：等參超曲面
• 外文名：isoparametric hypersurface
• 所屬學科：數學（微分幾何學）
• 性質：一類曲面，它是等參函式的等位面
• 相關概念：主曲率、測地平行超曲面等

定義

等參超曲面(isoparametric hypersurface)是一類曲面，它是等參函式的等位面。等參函式F是滿足下列性質的函式：F的梯度的模長平方和F的拉普拉斯運算元ΔF都僅是F本身的函式。在空間形式中，等參超曲面M的特徵是M具有常數主曲率。嘉當(E.Cartan)於1938年證明：若M有g個不同常主曲率，其重數分別為，則對於每個成立

此結果對空間形式中等參超曲面的分類起著重要作用。等參超曲面的測地平行超曲面也是等參的，對於的空間形式，其等參超曲面的不同主曲率的個數最多是2。在球面上，等參超曲面的不同主曲率的個數只可能是1，2，3，4或6，它們都是代數曲面。

相關概念

等參子流形

等參子流形(isoparametric submanifold)是等參超曲面的推廣，黎曼流形的子流形稱為等參的，若的法叢平坦，並且關於M的任意平行法向量場的主曲率都是常數。例如，對稱空間的迷向表示的主軌道是歐氏空間中的等參子流形，空間形式中存在許多不是軌道的等參子流形，它們還遠遠沒有分類。

主曲率

主曲率(principal curvature)是一類特殊的法曲率，它是法曲率的極值。對於曲面上的非臍點P，法曲率在兩個互相垂直的切方向上分別達到最大值k₁和最小值k₂，稱為曲面在該點的主曲率，與主曲率相應的這兩個切方向稱為曲面在該點的主方向。若在P的一個切方向與該點相應於k₁的主方向的夾角為θ，則曲面沿這個給定方向的法曲率k_n為

此公式稱為歐拉公式。若曲面上一條曲線在每一點的切方向都是曲面在該點的主方向，則稱此曲線為曲率線。確定曲率線的微分方程是