有限集合是由有限個元素組成的集合，也稱有窮集合。例如，由北京、天津、上海三個直轄市組成的集合，由所有小於10000的質數所組成的集合都是有限集合。只含一個元素的集合是一種特殊的有限集合，叫做單元素集合，至少含有一個元素的集合叫做非空集合，不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一個，一般用希臘字母Φ(或{})來表示。例如，如果一個集合是以某班的某次數學測驗不及格的學生為元素，而事實上全班學生在該次數學測驗中成績都及格，那么這個集合就是一個空集Φ。在集合論中，約定空集Φ為有限集合， 空集是一切集合的子集。
有限集合還有兩種定義方式。
一個是說與自然數串的一個線段對等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做無限集合。
基本介紹
- 中文名：有限集合
- 外文名：finite set
- 所屬學科：數學
- 相關概念：無限集合、可排集合等
- 別名：有窮集合
定義,相關性質定理,定理1,定理2,定義4,定理3,定理4,定理5,定義5,定義5,定理6,定理7,
定義
定義1 小於或等於某一自然數n的那些自然數的集合叫做自然數串的一個線段，並用符號
來表示。
定義2 與自然數串的一個線段對等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做無限集合。
換句話說，有限集合(如果它不是空的)就是這樣的集合，它的元素是可以“編號”的，也就是，可以把它的元素編上號碼，寫成：
，並且所有的元素都已數到，從1到n的各個自然數全被用過而且不同的元素得到了不同的號碼，至於無限集合則是它的元素不能被這樣“編號”的集合，與有限(或無限)集合等勢的集合是有限的(相應地，是無限的)，介紹有限集合和無線集合的另一種定義。
從下面定理1和定理7就推出：定義2與定義3是等價的，事實上，如果集合在定義2的意義下是有限的，那么，根據定理1，它在定義3的意義下也是有限的，反過來，如果集合在定義3的意義下是有限的，那么，在定義2的意義下它應該也是有限的，因為，如若不然，它在定義2的意義下是無限的，從而根據定理7，它在定義3的意義下也是無限的，而這是不可能的，因此，有限集合的兩個定義是等價的，由此(利用反證法)立刻推出無限集合的兩個定義的等價性。
我們要指出，定義3要比定義2好一些(誠然，這只是在形式上如此)，因為它是用集合的一般理論的術語陳述出來的，而定義2卻是以自然數串的一些熟知的性質為其先決條件的。
相關性質定理
定理1
(有限集合的基本定理)有限集合不能與它的任何真子集合或真母集合對等。
證明： （文中所有定理的詳細證明請參考文後書籍）定理中兩個論斷(與子集合和母集合的不對等)的每一個論斷，都可以容易地從另一個論斷推出，因為，如果A～B而且
，那么從A和B兩集合之一的有限性，像上面已經指出的那樣，即可推出另一集合也是有限的．因此，例如．讓我們來證明：有限集合小能與它的真子集合對等，對於空集A=0，定理是成立的，因為空集合絕不會有真子集合，設A≠0，於是，按照有限集合的定義，集合A便對等於自然數串的一個(至少對等於一個)線段，現在讓我們對於數n用歸納法證明：A不可能一一映象在它自己的真子集合B上，對於n=1，這是顯然的，因為
而且只包含一個元素，B=0是它唯一的一個真子集合，所以A不對等於B。
假設定理對於自然數n已被證明了，我們要證明定理對於n+1也是正確的，因此，設
，而且f是A 在B上的一個一一映象，用與A的元素對應的那些自然數給A的元素編號，我們將得到
對於B=0，論斷是正確的，如果B≠0．那么，無損於普遍性。可設
，因為如若不然，我們取b∈B，並在B中用
代換b而造成新集合B1；再構成新映象
，使它和映象
，除了具有性質
的元素a之外，對於A的其他所有元素完全相同，並且假定對於元素a有
於是
就是A在其含有
的真子集合B1上的一個一一映象。其次，無損於普遍性，可以認為
因為如若不然。設
，於是，再構成新映象
，使它和映象
，除了
和
這兩個元素外，對於A的其他所有元素完全相同；並且假定
因此，總起來，我們設
並更設
，因為B是A的真子集合，所以有元素a'∈A\B．因為
，所以
，因而
，這就是說，B'是A'的一個真子集合。因為所以映照
便建立起了集合A'與B'的對等性，但是
所以我們便得到了與歸納法假定相矛盾的結果，而我們定理的淪斷正就是那個假定，因此，這就是說，全部定理已被證明。
從定理1容易推出定理2。
定理2
每一個非空有限集合與自然數串的一個線段而且僅只一個線段對等。
定義4
對於非空有限集合A，由
所唯一確定的自然數n叫做集合A的元素數，數0叫做空集合的元素數。
從對等的性質就推出：兩個有限集合在而且僅只在它們具有相同的元素數時，才是對等的，所以，可以把元素數看成是有限集合的勢的定義。
定理3
有限集合的任一子集合是有限集合，無限集合的任一母集合是無限集合。
定理4
有限集合A的元素數永遠大於它的真子集合B的元素數。
定理5
全部自然數組成的集合N，以及含有與N對等的子集合的集合，全是無限集合。
證明： 集合N是無限的，因為對於任一自然數n的映象，
把集合
一一地映象在它的真子集合
上，這就是說，任一與N對等的集合N‘’是無限的，而按照定理3，於是，包含與N對等的集合N'作為其子集合的任一集合，也是無限的。
例 實數集合或複數集合包含自然數集合N，因此，它們都是無限集合，線段[0，1]也是無限集合，因為它含有與N對等的形如
那樣的數組成的集合N。
定義5
對等於自然數集合的集合，叫做可排集合。
換句話說，可排集合就是這樣的集合：可以利用自然數把它的元素如此地“編號”，使得全部自然數全被用到而且不同的元素水遠有不同的號碼，因此，可排集合A永遠可被寫成這樣的形狀：
定義5
不是有限的或是可排的集合，叫做不可排集合。
定理6
每一個無限集合必含有一個可排集合。
定理7
每一個無限集合M必與其某一個真子集合對等。
