在數學中，從集合中所含元素個數的角度觀察集合，可有無限集和有限集之分。若用|A|表示集合A中所含元素的個數，則當|A|為有限數時，稱A為有限集。否則稱之為無限集。當集合不含任何元素時稱為空集，用∅表示。非空有限集簡單地來說就是不包含空集，至少包含一個元素的有限集合，也可以稱之為非空有限集合。
基本介紹
- 中文名：非空有限集
- 外文名：Nonempty Finite Set
- 學科：數學、計算機科學
- 定義：至少包含一個元素的有限集
- 有關術語：空集、有限集
- 套用：形式語言、編譯原理
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簡介
集合（簡稱集）是數學中一個基本概念，它是集合論的研究對象，集合論的基本理論直到19世紀才被創立。含有有限個元素的集合A叫做有限集，用cardinal來表示有限集合A中元素的個數，縮寫為card。例如A={a,b,c,}，則card（A）=3。當集合不含任何元素時稱為空集，用∅表示，空集也被認為是有限集合。非空有限集簡單地來說就是不包含空集，至少包含一個元素的有限集合，也可以稱之為非空有限集合。非空有限集在形式語言、編譯原理都有著具體的套用。
有限集與空集
有限集
數學中，一個集合被稱為有限集合，簡單來說就是元素個數有限，嚴格而言則是指有一個自然數n使該集合與集合{1,2,...,n}之間存在雙射。例如 -15到3之間的整數組成的集合，這個集合有19個元素，它跟集合{1,2,...,19}存在雙射，所以它是有限的。不是有限的集合稱為無限集合。
也就是說如果一個集合的基數是自然數，那這個集合就是有限的。所有的有限集合都是可數的，但並不是所有的可數集都是有限的，例如所有素數的集合。
有一個定理（戴德金定理）是：一個集合是有限的若且唯若不存在一個該集合與它的任何一個真子集之間的雙射。
空集
表示方法：用符號Ø(註：Ø(念oe)為拉丁字母，區別於希臘字母Φ(念fi))或者{ }表示。
注意：{Ø}為有一個Ø（oe）元素的集合，而不是空集。
性質
對任意集合 A，空集是 A 的子集：∀A: Ø ⊆ A；
對任意集合 A，空集和 A 的並集為 A：∀A: A ∪ Ø = A；
對任意非空集合 A，空集是 A的真子集：∀A, A≠Ø:Ø 真包含於 A。
對任意集合 A, 空集和 A 的交集為空集：∀A: A ∩ Ø = Ø；
對任意集合 A, 空集和 A 的笛卡爾積為空集：∀A: A × Ø = Ø；
空集的唯一子集是空集本身：∀A: A ⊆ Ø ⊆ A = Ø；
空集的元素個數（即它的勢）為零；
特別的，空集是有限的：| Ø | = 0；
對於全集，空集的補集為全集：CUØ=U。
集合論中，兩個集合相等，若它們有相同的元素；那么僅可能有一個集合是沒有元素的，即空集是唯一的。
考慮到空集是實數線（或任意拓撲空間）的子集，空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集，是它的子集，因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集，是它的子集，因此空集是開集。另外，空集是緊緻集合，因為所有的有限集合是緊緻的。
哲學層面
Jonathan Lowe認為，這一概念“無疑是數學歷史上的里程碑，……；不需要假設其在計算時的有效性要基於其確實表達了某些對象”，但在另一方面，“我們所知的空集只是它 (1)是個集合，(2)沒有元素，(3)在沒有元素的集合中唯一。然而，有很多東西‘沒有元素’，在集合論角度而言，叫做非集合。為什麼它們沒有元素是顯而易見的，因為它們不是集合。不清楚的是，為什麼在集合中，沒有元素的集合是唯一的。僅僅通過約束是不可能將這么一個實體變出來的。”
在"To be is to be the value of a variable…"，Journal of Philosophy，1984（在書Logic, Logic and Logic中再次發表）中，小George Boolos認為許多集合論中的結論，也可以透過對個體進行複數量化來得到，所以無需把集合具體化為包含其他實體作為元素的實體。
套用
對於程式設計語言來說，它在很大程度上由定義語言的語法構造而得，所以理解文法概念的理論知識是十分重要的。著名語言學家chomsky將形式語言及其文法分為4個級別，即所謂的chomsky分類。每類文法(或語言)都對應了一種可識別語言中的符號串的自動機。文法是指描述語言語法的形式規則。
文法的形式定義如下：
一個文法被定義為一四元組(∑，N，P，S)，其中：
∑ 有限非空集合，稱為終結符集、字母表或符號集；
N 有限非空集合，且∑∩N=∅；稱為非終結符(或語法變數)集；
P有限非空集合，稱為產生式集；
S(S∈N)稱為開始符號或目標符號。
