選擇函式

選擇函式

選擇函式是一個函式f,其定義域X為一堆非空集合組成的集合,且對每一於X內的S,f(S)會屬於S。換句話說,f會在X的每一集合中選取一個且只一個元素。

基本介紹

  • 中文名:選擇函式
  • 外文名:choice function
  • 屬性:是一個函式f
  • 定義域:X為一堆非空集合組成的集合
  • 正文:描述每一非空集合的集合
定義,定義域,

定義

設 X 是一個非空集合而且 X 的每一個元素都是非空的。一個從集合 X 到
上的函式(映射)f 被稱為 X 上的一個選擇函式若且唯若對於每一個
都有

定義域

選擇公理(AC)描述每一非空集合的集合都會有一選擇函式。另一較弱的選擇公理-可數選擇公理(CC)描述每一非空集合組成的可數集合都會有一選擇函式。但無論如何,即使沒有AC或CC,某些集合還是可以有選擇函式。
X為一非空集合組成的有限集合,則可以建立一選擇函式,由每一個X的元素內選取一個元素。這只需要做有限多次的選擇,所有不需要有AC和CC兩個公理。 若X的每一元素都是良序非空集合,則有可能由每一個X的元素中選取其極小元。如此,或許需要有無限多次的選擇,但存在一做選擇的規擇,所以AC和CC再次地不需要有。分辨“良序”和“可良序”是很重要的:當X的元素盡為可良序,則其將需要選取每一元素的一良序,而這可能需要無限多次隨意的選擇,因此需要有AC(或CC,若X為可數無限)。 若X的每一元素都是非空集合,且其聯集為可良序的,則有可能可以選擇一此聯集的良序,且推導至X內每一元素的良序,如此一個選擇函式就可以如前述例子一樣地存在。在此一例子裡,是有可能只做一次選擇來決定X內每一元素的良序,故不需要AC和CC。

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