拓撲穩定性

拓撲穩定性(topological stability)亦稱半結構穩定性或半穩定性,通常是描述系統在C小擾動下的一個穩定性概念。

對於自映射情形,也可給出拓撲穩定性的類似定義。微分流形上的安諾索夫系統是拓撲穩定的;擴張映射是拓撲穩定的。對微分同胚來說,公理A和強橫截條件蘊涵著拓撲穩定性。

基本介紹

  • 中文名:拓撲穩定性
  • 外文名:topological stability
  • 別名:半結構穩定性或半穩定性
  • 領域:數學
  • 性質:系統在小擾動下的穩定性
  • 實例:擴張映射
概念,穩定性,度量空間,同胚,實例——擴張映射,

概念

拓撲穩定性(topological stability)亦稱半結構穩定性或半穩定性。
拓撲穩定性
通常是描述系統在C小擾動下的一個穩定性概念。設(M,d)是緊緻度量空間,f:M→M是同胚。若對任意ε>0,存在δ>0,使得對任意同胚g:M→M,當d(f,g)≤δ時,存在連續滿射h:M→M滿足:
1.h°g=f°h,即上圖可交換;
2.d(h,idM)≤ε;
則稱f是拓撲穩定的。
度量空間上的連續流而言,其定義如下:設(M,d)是緊緻度量空間,φ是M上的連續流。若對任意ε>0,存在δ>0,使得對任意連續流ψ:R×M→M及任t∈(0,1],當d(φt,ψt)≤δ時,存在連續滿射h:M→M滿足:
1.對任意x∈M,h把φ過x的軌道映到ψ過h(x)的軌道內;
2.d(h,idM)≤ε;
則稱φ是拓撲穩定的。
對於自映射情形,也可給出拓撲穩定性的類似定義。微分流形上的安諾索夫系統是拓撲穩定的;擴張映射是拓撲穩定的。對微分同胚來說,公理A和強橫截條件蘊涵著拓撲穩定性。

穩定性

一般是指作用在系統上的擾動排除後,系統能否恢復原狀、或以怎樣的精度恢復原狀的性能。它是控制理論的一個極其重要的問題。在經典控制理論中,一般涉及到的是定常的線性系統,有關這種系統的穩定性的判別方法主要有: 羅斯—胡爾維茨準則、奈奎斯特判據、波德圖、尼柯爾圖和根軌跡法等。在現代控制理論中,對線性系統和非線性系統的穩定性的研究,主要是李雅普諾夫的穩定性理論。李雅普諾夫根據系統的輸出 (回響) 是否有界來定義系統的穩定性,並區分了三種情況: (1) 穩定的,即對於系統初始值的一個擾動,如果其回響的幅值是有界的。(2) 漸近穩定的,即對於系統初始值的一個擾動,如果其回響能夠最終回到初始狀態。(3)不穩定的,即對於系統初始值的一個擾動,其回響的幅值不是有界的。經典控制理論所研究的穩定性只限於第二種情況漸近穩定,而把另兩種情況都看作是不穩定的。因而李雅普諾夫的穩定性概念更具一般性。李雅普諾夫用兩種方法分析系統的穩定性,第一種方法是: 用近似極數表示非線性函式,然後用近似方法求解非線性方程,最後根據解的性質,確定其系統的穩定性; 第二種方法是: 不必求解方程,而用李雅普諾夫函式的純量函式來判別系統是否穩定,並分析系統的回響。由於第二種方法具有不必求解方程的特點,因而也稱直接法,而稱第一種方法為間接法。由於許多非線性系統和時變系統的方程是難以求解的,又由於通過計算機可以找到所需的李雅普諾夫函式,還能找到系統的穩定區域,所以第二種方法在控制理論中得到廣泛套用。穩定性對於社會經濟系統極為重要,是經濟學經常討論的重要課題之一。探討經濟系統的穩定性,對於了解經濟系統的動態發展規律、預測經濟發展方向以及分析經濟系統的結構等,都有著重要的現實意義。

度量空間

度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間,其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合,ρ(x,y)是R上的二元函式,滿足如下條件:
1.ρ(x,y)≥0且ρ(x,y)=0⇔x=y;
2.ρ(x,y)=ρ(y,x);
3.(三角不等式)ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z);
則稱ρ(x,y)為兩點x,y之間的距離,R按距離ρ成為度量空間或距離空間,記為(R,ρ)。設A是R的子集,則A按R中的距離ρ也成為度量空間,稱為R的(度量)子空間。如果把上述距離的條件1改為ρ(x,y)≥0且ρ(x,x)=0,則稱ρ為R上的擬距離。當ρ(x,y)=0時,記x~y.~是R上的一個等價關係,記商集(即等價類全體)為D=R/~,在D上作二元函式ρ~:ρ~(x~,y~)=ρ(x,y)(x∈x~,y∈y~),則ρ~是D上的距離,而(D,ρ~)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間。
度量空間(R,ρ)中的子集A稱為有界的,如果對x0∈R,存在常數M,使ρ(x0,x)≤M對A中的一切x成立。設x0∈R,r>0,則稱集合{x|x∈R,ρ(x,x0)<r}為以x0為中心,r為半徑的開球,或x0的r鄰域,記為O(x0,r).又設A⊂R,若對任何x∈A,存在x的某個鄰域O(x,r)⊂A,則A稱為開集;而稱開集的補集為閉集。R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。
度量空間是弗雷歇(Fréchet,M.-R.)於1906年引進的,它是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾里得空間的抽象空間,也是泛函分析的基礎之一。

同胚

數學上指一對一的一種對應。在集合論(set theory)中指兩組成員的一種屬性,一組中的任何一個成員能同另一組中的一個成員配對,反之亦然。在拓撲學(topology)中,兩個空間中的一個能不撕破、不粘連地變形成另一個,這兩個空間就是同胚的。例如,球體的表面和立方體的表面就是同胚的。
設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚,如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。
為使從E到F上的雙射是同胚,其充分必要條件是: 這個雙射是雙連續的。
從一緊空間到另一緊空間上的任一連續雙射是同胚。

實例——擴張映射

撒布(Shub,M.)在1969年最先研究得到的一類結構穩定的半動力系統。最簡單的擴張映射的例子是複平面上由z↦z定義的單位圓周的自映射。一般定義是:設M是緊緻黎曼流形,f∈C(M,M),如果存在M上的黎曼度量〈·,·〉和實數τ>1,使得:
則稱f為擴張映射,這裡|·|是由〈·,·〉引出的範數。擴張映射是結構穩定的,並且具有有理的ζ函式.因此,擴張映射是對微分同胚理論研究的推廣。在緊流形上擴張映射的存在對流形本身需要加以很強的限制,其歐拉示性數必須是零,其通用復迭空間必須微分同胚於R,其基本群必須是無扭的等。例如,在二維緊曲面中,只有環面和克萊因瓶才可以具有擴張映射。

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