《微分系統的分支與漸近性態研究》是依託上海交通大學，由肖冬梅擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：微分系統的分支與漸近性態研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：肖冬梅
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究與Hilbert第16問題緊密相關的平面多項式系統的極限環分支以及高維微分系統的分支和解的全局動力學行為，這是非線性動力系統的核心問題。主要討論平面上次數大於或等於4的Hamilton系統在多項式小擾動下Abel積分零點個數的最小上界，三維或三維以上微分系統的非孤立平衡點的分支和解的全局動力學性態，以及來自於醫學與生態學中的無窮維非線性微分模型解的漸近性態，某些特殊解的存在性、穩定性與分支。這是國際上非線性動力系統研究領域的熱門課題，通過研究希望在理論上對微分系統分支理論及其研究方法有所發展和豐富，在套用中能為理解實際問題的演化規律提供定量和定性依據。
結題摘要
本項目研究了與Hilbert第16問題緊密相關的平面多項式系統的極限環分支和高維微分系統的分支與解的全局動力學，以及來自於醫學與生態學中的無窮維非線性微分模型解的漸近行為或行波解的存在性及相關性態，發展了相關的數學理論和研究方法，解決或部分回答了幾個公開問題， 取得了一些有趣的研究成果，在本項目資助下發表學術論文30篇，其中大多數發表在國際重要學術期刊上，主要成果如下： 1． 與Arnold提出的弱化Hilbert 16問題相關的Abel積分零點個數估計方面，我們對沿虧格為2、次數為6的所有實代數超橢圓閉曲線族的兩個超橢圓Abel積分是否具有Chebyshev性質，給出較完整的分類，部分回答了關於超橢圓積分Chebyshev性質問題。對一類具有指數函式積分因子的可積Lienard系統，其在小擾動下偽Abel積分零點個數估計是一個著名的公開問題，我們藉助多值Lambert函式性質對這類可積的Lienard系統建立了全局擾動理論，為解決這個公開問題提供了新的理論工具，並用該工具得到近中心點偽Abel積分零點個數估計。 2． 高維微分系統分支問題與全局動力學方面，對一類非稠定域上的半線性柯西問題，首次證明存在參數使得這類半線性方程發生Bogdanov-Takens分支。 對一類竟爭三維Lotka-Volterria系統，我們完整地得到該系統的全局動力學行為並給出競爭排斥原理成立的充要條件。 3． 無窮維非線性微分模型方面，對描述非均勻環境下入侵物種動力學的自由邊值擴散Logstic模型，我們獲得了入侵成功與否的臨界判據，給出入侵邊界的漸近傳播速度，這為預防和阻止生物入侵提供理論依據。對具有非局部擴散和相互作用效應的時滯格上微分方程，我們發展新方法證明其行波解的漸近行為, 單調性和唯一性，完整地回答了前人提出的公開問題。
