C封閉引理(C closed lemma)是微分動力系統的一個基本引理。C封閉引理由皮尤夫(Pugh，C.)於1967年提出，它的完全正確的證明是由廖山濤首先以十分簡潔的方式給出的。
基本介紹
- 中文名：C封閉引理
- 外文名：C closed lemma
- 領域：數學
- 學科：微分動力系統
- 提出：皮尤夫
- 證明：廖山濤
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概念
C封閉引理(C closed lemma)是微分動力系統的一個基本引理。C封閉引理由皮尤夫(Pugh，C.)於1967年提出，它的完全正確的證明是由廖山濤首先以十分簡潔的方式給出的。實際上，他證明了以下推廣的C封閉引理：設M是一個n維黎曼流形(n≥2)，在M上定義了一個C常微系統X(即C向量場)，如果a是X的一個非遊蕩常點，則對任何ε>0，存在M上的C常微系統Y，這系統有一周期軌道經過a點，並且滿足‖X-Y‖1<ε。
C封閉引理是微分動力系統結構穩定性理論中許多問題研究的基礎。例如，由C封閉引理可得，所有不含非閉p式穩定軌道的系統在全體C系統空間作成一個稠密子集。
微分動力系統
微分流形上由常微系統或微分同胚生成的動力系統。研究的核心內容是結構穩定性和Ω穩定性的特徵性質。它起源於常微分方程結構穩定性的研究。雖然1937年，安德羅諾夫(Андронов，А.А.)與龐特里亞金(Понтрягин，Л.С.)就提出此概念，但直到1959至1962年佩克索托(Peixoto，M.)得出二維閉曲面上C常微系統結構穩定的充分必要條件以及稠密性定理，結構穩定的研究才受到足夠重視。以斯梅爾(Smale，S.)為代表的西方學者們研究高維流形的C結構穩定系統與Ω穩定系統，由於該研究的複雜性，他們首先從流形上微分同胚生成的離散微分動力系統著手(這種系統通過扭擴可成為高一維流形上的常微系統)，主要是通過穩定流形理論與泛函分析方法。以佩克索托對二維流形結構穩定系統的特徵研究為藍本，斯梅爾將其推廣到一般流形上，稱之為莫爾斯-斯梅爾系統，並證明其為結構穩定的。但隨後舉出不屬於這種系統的結構穩定系統，例如，托姆環面雙曲自同構和安諾索夫微分同胚以及斯梅爾馬蹄，它們的周期點都是無窮多的。後來發現結構穩定系統一般不是稠密的。1967年，斯梅爾提出結構穩定性猜測和Ω穩定性猜測，這兩個猜測對C微分同胚和常微系統已獲解決。中國數學家廖山濤於20世紀60年代初開始進行微分動力系統的開創性的研究工作，他以微分拓撲與黎曼幾何為工具建立了典範方程組與阻礙集這兩個概念為核心的微分動力系統的研究體系，直接將常微系統(即向量場)按積分曲線上的活動標架展開為微分方程組加以研究，另闢一條研究微分動力系統的途徑，取得許多重要成果。微分動力系統的研究近年來逐漸涉及非穩定的課題，例如分岔和混沌等，有些研究與遍歷性交叉，出現微分動力系統的遍歷性理論。微分動力系統又分為C流、離散微分動力系統和離散微分半動力系統。
廖山濤
數學家。湖南衡山人。1942年畢業於西南聯合大學數學系，1950—1952年赴美留學，獲美國芝加哥大學博士學位，1956年回國，現任北京大學數學系和數學研究所教授。主要從事常微分方程特別是微分動力系統的研究，在常微分結構穩定性方面，引進了典範方程組與阻礙集的方法，可以將微分流形上常微系統相空間的探討適當地、部分地化為歐氏空間上常微分方程來解決，具有便於定量估計和計算等優點。他還深入研究了結構穩定系統的特徵問題，給出了“R—R定理”的一個推廣。並證明了“R—R定理”的逆定理對閉曲面上的微分同胚成立，給出了“C′—封閉引理”的一個新的證明。曾獲1982年全國自然科學二等獎，1986年第三世界科學院數學獎和1987年國家科學一等獎。論文代表作有：《緊緻微分流形上常微分方程系統的某類諸態備經性質》、《典範方程》、《阻礙集與強勻斷條件》、《某類常微系統的一個基本性質》等。
廖山濤與微分動力系統
微分動力系統理論興起於20世紀60年代，它的研究對象是某些變換群作用下軌道的 拓撲結構和漸近性態。它較之常微分方程定性理論有著質的不同，目前已成為微分方程和 大範圍分析中非常活躍的分支。
中國著名數學家廖山濤從60年代初開始致力於微分動力系統的研究，是這個領域的開拓者。他創立的獨具特色的方法，即後來所謂的典範方程組，最接近通常所指的常微分方程式論，是較分析的，特別在整體問題牽連到奇點時，典範方程組方法較為有效。1974 年，廖山濤作了這一研究的系統總結，在中國 《數學學報》上發表了題為 《典範方程組》 的論文。70年代末和80年代初，廖山濤還創造了阻礙集的方法，藉助於阻礙集，微分動 力系統研究中若干重要的概念，可以表示為集合運算的式子。
廖山濤利用他獨創的方法，在微分動力系統的研究領域作出了傑出的貢獻，取得一系 列重大成果。主要有： (1) C′封閉引理，其證明發表時間較晚，但完全可靠，進而討論了常微系統簇水等。(2)在流形上由微分動力系統所引起的各態歷經性質方面也獨立做了一 些工作。(3)得出了強勻斷的充分必要條件，並推出線性強勻斷蘊含公理A。(4)首先證 明了流形維數為2時，由微分同胚所產生的離散系統的穩定性猜測，並得出有關的另外結果。
