巴拿赫極限

在數學分析中，巴拿赫極限（英語：Banach limit）指的是定義在全體有界復序列組成的巴拿赫空間上，對每個巴拿赫空間中的序列和複數滿足一定條件的連續線性泛函。

基本介紹

• 中文名：巴拿赫極限
• 外文名：Banach limit
• 領域：數學分析

介紹

在數學分析中，巴拿赫極限（英語：Banach limit）指的是定義在全體有界復序列組成的巴拿赫空間上，對每個 中的序列 和複數 滿足：

(1) （線性）；

(2)若對每個 有 ，則 （正定性）；

(3) ，其中S是移位運算元，定義為 （移位不變性）；

(4)若x是收斂序列，則 .

的連續線性泛函。

因此， 是對連續線性泛函 的延拓，其中 是 中收斂到某個極限的全體序列組成的復向量空間。進而可以視為發散級數論中的一個可和法。

換句話說，巴拿赫極限是對通常意義下極限概念的延拓，並且是線性、移位不變、正定的。可以對某個序列找到兩個巴拿赫極限，使得各自作用下得到兩個不同的值，我們稱這類序列的巴拿赫極限不是唯一確定的。

作為上述性質的一個推論，每個實值巴拿赫極限也滿足：

巴拿赫極限的存在性通常需要套用哈恩-巴拿赫定理證明（分析學方法），也可以套用超濾子（這種方法在集合論的討論中出現得更頻繁）。這些證明都一定會用到選擇公理（即所謂的非構造證明）。

幾乎收斂

某些不收斂的級數在巴拿赫極限的作用下是唯一確定的。 例如 ，注意到 是常序列，並且

因此對每個巴拿赫極限而言，它以1/2為極限。

我們將每個巴拿赫極限 下有相同的 的有界序列 x稱為幾乎收斂的。

Ba 空間

在 中給定收斂序列 ，如果考慮對偶 ，x通常的極限並不由的某個元素給出。實際上是的連續對偶空間（對偶巴拿赫空間）；反過來，雖然能誘導出中的連續線性泛函，但並不是全部。每個上的巴拿赫極限都是的對偶巴拿赫空間中的一個元素，但不在中。的對偶叫做ba空間，由一切自然數集子集的σ-代數上有限可加（符號）測度組成，或者等價地說是由每個自然數集的Stone–Čech緊化上的波萊爾（符號）測度組成。