擬線性化方法

擬線性化方法(method of quasilinearization)是求解非線性方程柯西問題的一種方法。柯西問題是由偏微分方程的解在初始時刻的瞬時性態探討它在以後時刻的性態的問題。出現在偏微分方程(組)中的某個自變數有時可以賦予特殊的意義(如時間t)。

基本介紹

• 中文名：擬線性化方法
• 外文名：method of quasilinearization
• 領域：數學
• 學科：泛函分析
• 性質：求解非線性方程柯西問題
• 人物：弗雷歇

概念

擬線性化方法(method of quasilinearization)是求解非線性方程柯西問題的一種方法。在f關於x的弗雷歇導數f_x(t，x)存在及其他附加條件下，可用一列線性方程柯西問題：

的解z_n(t)去逼近非線性方程柯西問題：

的解，其中X是巴拿赫空間，D=B(x₀，r)⊂X，J=[t₀，t₀+a]，f∈C[J×D，X]。設K是X的正則錐且K非空。嚴格敘述如下：設‖f(t，x)‖≤M對(t，x)∈J×D，並且對每個t∈[t₀，t₀+a]，f關於x是擬單調不減的；對(t，x)∈J×D，f_x(t，x)存在、連續且有‖f_x(t，x)‖≤L，這裡選取a滿足a(M+2Lr)≤r；對每個t∈J，f(t，x)在B(x₀，r)是凸的。則存在[t₀，t₀+a]上一列函式{z_n(t)}，使得：

1.z₀(t)=x₀，每個z_n(t)(t∈J，n=1，2，…)是線性方程z′=f(t，z_n-1)+f_x(t，z_n-1)(z-z_n-1)滿足z(t₀)=x₀的解，而且z_n(t)≤x(t)，這裡x(t)是(1)的解。

2.z_n(t)=x(t)在[t₀，t₀+a]上是一致的。

柯西問題

由偏微分方程的解在初始時刻的瞬時性態探討它在以後時刻的性態的問題。出現在偏微分方程(組)中的某個自變數有時可以賦予特殊的意義(如時間t)。當對這樣初值瞬間的自變數給予特定值t₀時，未知函式及其某些導數所取得的值稱初始值。用來確定初始值的條件稱初始條件，求滿足方程(組)及給定初始條件的解的問題稱為初值問題。初值問題又稱柯西問題，初始值也稱為柯西數據。

如果在自變數的某值給出適當個數的附加條件，用來確定微分方程的特解，則這類問題稱為初值問題。如果在自變數一個以上的值給出適當個數的附加條件，用來確定微分方程的特解，則稱為邊值問題。

巴拿赫空間

完備的賦范線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。

20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。

1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。

人物簡介

弗雷歇是法國數學家。生於法國約訥省的馬利尼，卒於巴黎。父親是國小教師。弗雷歇在服完兵役後於1901年進入巴黎高等師範學校學習，1906年獲博士學位。1910年任普瓦捷大學力學教授，直至第一次世界大戰爆發。戰爭期間弗雷歇在前線呆了3年，開始是普通士兵，後來擔任英國軍隊的翻譯。1920—1927年任斯特拉斯堡大學數學教授。1928—1933年任巴黎大學機率計算講師，1933—1935年任一般數學教授，1935—1940年任微積分計算教授，1940—1948年任機率計算教授。

弗雷歇1956年當選為法國科學院院士，他還是波蘭科學院院士(1929)、荷蘭科學院院士(1950)，以及莫斯科數學會等許多國內外著名科學學會的成員。

弗雷歇是泛函分析學科的奠基者之一。他在1906年的博士論文“關於泛函演算若干問題”(Sur quelques points ducalcul fonctionel)中，創立了完整的抽象空間理論，標誌著泛函分析和點集拓撲學的誕生。論文中他提出了嶄新的距離空間的概念，並定義了鄰域、開集、閉集、閉包、極限點等基本概念。以後他又引進了勒貝格積分意義下的平方可積函式空間、賦準范線性距離空間(弗雷歇空間)等重要內容。他還獲得了類似里斯表現定理的結果。他還研究了抽象空間上的微分定義和維數的定義，並獲得有意義的結果。

弗雷歇對機率統計理論也作了大量的研究。早在20年代，他就開始用他所創造的泛函分析方法來研究隨機變數序列{x_n}“概收斂”和“幾乎處處收斂”的問題。他與人合作解決了“矩收斂問題”。30年代，他著重研究“馬爾可夫鏈”理論。他還研究了機率計算、機率套用、方差和協方差的定義、相關性、遍歷理論、零機率事件的分類等問題。

在國際數學家交往上，弗雷歇是位活躍人物，他與許多數學家有通信來往，特別與對外聯繫較少的蘇聯科學家有十分友好的關係。弗雷歇的著作很多，較著名的有《抽象空間》(Les espace abstraits， 1928)、《機率論現代理論研究》( Recherchestheoriques modernes sur le cal-cul des probabilities， 1937—1938，兩卷集)，以及《數學與具體》(Les mathematiques et leconcret，1955)等等。