混合動態系統解的性態分析及相關問題

《混合動態系統解的性態分析及相關問題》是依託河北大學，由王培光擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：混合動態系統解的性態分析及相關問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王培光
• 依託單位：河北大學

項目摘要

本項目將藉助非線性動力學和非線性分析的理論和方法，利用矩陣理論、穩定性理論、度理論、不動點指數理論以及比較原理、擬線性化方法和計算機模擬等工具，對於混合動態系統（Hybrid dynamic systems）的定性與穩定性問題，解的快速收斂性問題以及具有不連續項的非線性方程邊值問題進行研究。通過發展比較原理和對廣義單調疊代方法、廣義擬線性化方法等問題的深入討論，得到具有時滯和脈衝影響的混合動態系統解的各類穩定性的判別準則、解的快速收斂性條件以及多點邊值問題正解存在性的判別準則，通過對時標上混合動力方程的合理定義，對混合動力方程的若干推廣問題進行討論，給出解的疊代速度較快的方法和各類邊值問題存在性的研究結果。揭示時滯和脈衝對系統動力學行為的影響，完善和發展混合動態系統的理論。本項目開展的工作既重視研究結果，也重視方法的改進、統一和擴展。

結題摘要

近年來，隨著科學技術的進步與發展，在航空、工程技術、生態學等自然科學領域出現了許多由混合動態系統描述的複雜系統模型，這類系統的特徵既包含連續變數又包含離散變數。如果只單獨套用連續或離散系統的方法來進行處理，在許多情況下，系統的描述與實際系統特徵就會相差甚遠。由於混合動態系統模型的大量出現，引起了國內外學術界的廣泛關注，成為套用數學和控制理論中非常活躍的研究領域之一。它的研究主要集中在模型設計、模型的定性與穩定性分析、連續過程之間的相互影響、控制策略以及電腦程式上。由於這類模型更能精確地描述客觀事物，在理論上需要對該類系統解的性態進行分析，並能夠提供解決將連續和離散這兩種性能組合在一起的理論結果與套用方法，是一項具有理論和現實意義的工作。 由於混合系統模型是具有連續和離散性質的動態過程，混合動態系統的求解及其動力學性質的揭示是一個非常困難的研究課題。而關於非線性運動（控制）方程的求解以及解的定性和穩定性理論的分析是研究各類動力系統的基本而且重要的問題之一。 本項目藉助非線性動力學和非線性分析的理論和方法，利用矩陣理論、穩定性理論、不動點及不動點指數原理以及比較原理、擬線性化方法、Lyapunov函式法和計算機模擬等工具，對幾類動力系統的穩定性問題，疊代方法及解的快速收斂性問題以及非線性方程邊值問題進行了研究。得到了具有脈衝影響的混合動態系統、時標動態系統、具有時滯的微分系統、集值微分系統和具有時滯影響的奇異系統各類穩定性的相關判據，以及切換系統控制器穩定切換律的設計方法；套用廣義擬線性化方法、單調疊代方法、上下解方法、粘滯法和Picard疊代方法等，給出了各類方程近似解的收斂性的研究結果；利用特徵值原理、不動點原理等，給出了具有變號項的非局部邊值問題、含有P-拉普拉斯運算元的非線性微分系統的邊值問題等正解的存在性判別準則。 本項目的研究工作，豐富了微分方程領域的理論研究成果。到目前為止，本項目總計發表論文29篇，其中28篇（次）已被SCI、EI和ISTP檢索。研究成果除了具有重要的學術價值外，還將在生態學、控制論、通訊等許多領域理論和套用研究中起到重要的參考價值和借鑑作用。從整體上看，本項目圓滿地完成了所承擔的任務，並為進一步開展深入的研究，打下了堅實的基礎。