哈恩－巴拿赫定理

在泛函分析中，哈恩-巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性運算元擴張到整個空間，並說明了存在“足夠”的連續函式。定義在每一個賦范向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。這個定理以漢斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他們在1920年獨立證明了這個定理。

基本介紹

• 中文名：哈恩－巴拿赫定理 
• 外文名：Hahn Banach theorem

定理的最一般的表述需要一些準備。給定標量域（實數或複數）上的一個向量空間V，一個函式稱為次線性函式，如果：

可以很容易證明，V上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函式也可以是很有用的。

哈恩-巴拿赫定理說明，如果是一個次線性函式，是V的線性子空間|子空間U上的一個線性泛函，滿足：

那么存在φ到整個空間V的一個線性擴張，也就是說，存在一個線性泛函ψ，使得：

以及：

擴張ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的證明也沒有給出任何求出ψ的方法：在無窮維空間V的情形中，它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。

我們可以把的次線性條件稍微減弱，只需要：

這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯繫。