前導子理想(conductor ideal)是一種特殊的極大理想。設R是整環，R'是R在其商域K中的整閉包。
基本介紹
- 中文名：前導子理想
- 外文名：conductor ideal
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 性質：一種特殊的極大理想
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概念
前導子理想(conductor ideal)是一種特殊的極大理想。設R是整環，R'是R在其商域K中的整閉包。若F={x∈R|xR'R}，則F是R的理想，也是R'的理想，稱F是R在R'中的前導子。前導子是R的極大理想，也是R'的極大理想。
理想
理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I；
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I；
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I；
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：
1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元)；
2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；
3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；
則稱I為B上的理想。理想與濾子有非常密切的聯繫。
極大理想
巴拿赫代數中的一個重要概念。設R是有單位元e的交換巴拿赫代數，M是R的一個真子代數。如果對ᗄx∈M，y∈R，都有xy∈M，則稱M是R的一個理想(或幻)。如果對任何理想M′，由M′⊃M可推出M′=R，則稱M為R中的極大理想。極大理想必是閉的。R中任何一個非正則元都含於某一理想中，且任一理想都包含於某一極大理想中。設M是R的極大理想，則商空間R/M同構於複數域。由哈恩-巴拿赫延拓定理，存在R上的連續線性泛函fM≠0，使fM(M)=0，且fM是R上的可乘線性泛函。反之，對R上任一可乘線性泛函f，其零空間Mf={x|f(x)=0}是R的一個極大理想，從而R中的極大理想與R上可乘線性泛函之間形成一一對應關係。這種對應關係在交換巴拿赫代數的表示理論中起重要作用。
整環
非退化為{0}且沒有0因子的交換環稱為整環。
環Z是整環。設n為非零自然數；為使環Z/nZ為整環，必須且只須n是素數。任一交換體是整環對任一整環A，係數取自A中含一個未定元的全體多項式之環A[X]，係數取自A中的全體形式級數之環A[[X]]都是整環。由此推知，係數取自交換體K中含p個未定元的全體多項式之環K[X1，X2，…，Xp]及含p個未定元的全體形式級數之環K[[X1，X2，…，Xp]]都是整環。
集合論
數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合(如群、環、拓撲空間)，或者是可以通過集合來定義的(如自然數、實數、函式)。從這種意義上說，集合論可以說是整個現代數學的基礎，至多範疇論除外。
集合論是G.康托爾於19世紀末創立的。20世紀初對集合論的嚴格處理產生了公理集合論，由於對它的研究廣泛採用了數理邏輯工具，集合論(公理集合論)又逐漸成為數理邏輯的一個分支，並從20世紀60年代以來獲得迅速的發展。
集合論是在分析數學的研究中產生的，直接產生於三角級數的研究工作中。1854年黎曼提出，如果函式f(x)在某個區間內除間斷點以外所有點上都能展開為收斂於函式值的三角級數，那么這樣的三角級數是否唯一?但他沒有回答。1870年海涅證明：當f(x)連續，且它的三角級數展開式一致收斂時，展開式是唯一的。進一步的問題是：什麼樣的例外的點(間斷點)不影響這種唯一性?表述這些例外的點的整體的需要，產生了點集的概念，G.康托爾引入了直線上的一些點集拓撲概念，探討了前人從未碰到過的結構複雜的實數點集。這是集合論的開端。
1874年，G.康托爾越過“數集”的限制，開始一般地提出“集合”的概念。他給集合下了這樣一個定義：把若干確定的有區別的(具體的或抽象的)事物合併起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，也說它屬於該集合。有了集合概念，就可以定義出一系列有關的概念，集合論就產生了。
