次線性函式

次線性函式(sublinear function)是一類重要的凸函式。正齊次且是次可加的函式稱為次線性函式。局部凸空間(包括賦范線性空間、有限維空間)上的下半連續次線性函式一定是連續線性函式族的上包絡。如果-f是次線性函式，那么f稱為上線性函式。

基本介紹

• 中文名：次線性函式
• 外文名：Sublinear function
• 所屬學科：數學
• 特點：正齊次且是次可加
• 屬性：一類重要的凸函式
• 舉例：（半）範數

基本介紹

有一類特別重要的凸函式，稱為次線性函式，它滿足

(正齊次性)；

，(次可加性)。

任何線性形式(函式)當然都是次線性函式。反之，易證：如果，且和都是次線性函式，那么一定是線性函式。

相關性質

次線性函式必定是凸函式；於是次線性函式本質上也將是仿射函式族的上包絡。但由於次線性函式還一定滿足等條件，我們還能得到更強的結果。

命題1設線性空間X上的函式，且，那么是次線性函式的充要條件為：存在一族線性形式，使得

推論設是滿足的次線性函式，那么是代數閉凸集。

定理 設K為線性空間X中的集合，且是它的承托函式，即

那么

的充要條件為：K是代數閉凸集。

Minkowski函式

非負的次線性函式稱為Minkowski函式，這種函式與包含原點的凸集緊密相關，設為凸集，且，令

這裡規定，於是有：

命題2 是Minkowski函式。

命題3 設A為X中的凸集，且，如,式(2)所定義，那么

命題4設為Minkowski函式，凸集A滿足

那么必定有

命題3把一個相對代數內部非空的凸集與一個Minkowski函式聯繫起來，且它的相對代數內部與代數閉包也都可用這個Minkowski函式表示，命題4又說明這樣的Minkowski函式聯繫的是一族有相同的相對代數內部和代數閉包的凸集。值得注意的是：命題4中並無A的相對代數內部包含原點的要求，於是式(3)的兩端又可看作相對代數內部和代數閉包概念的某種推廣(這裡用A的錐包代替A的仿射包來考慮)。

舉例

每個（半）範數是一個次線性函式。 相反的情況是不正確的，因為（半）規範可以在任何欄位（不一定是有序的）上具有其域向量空間，並且必須具有R作為其代碼域。

範數，是具有“長度”概念的函式。線上性代數、泛函分析及相關的數學領域，範數是一個函式，是矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。半範數可以為非零的矢量賦予零長度。

定義範數的矢量空間是賦范矢量空間；同樣，定義半範數的矢量空間就是賦半范矢量空間。

在二維的歐氏空間R中定義歐氏範數，在該矢量空間中，元素被畫成一個從原點出發的帶有箭頭的有向線段，每一個矢量的有向線段的長度即為該矢量的歐氏範數。