基本介紹
- 中文名：奧爾利奇空間
- 外文名：Orlicz space
- 領域：數學
- 性質：Lp空間的推廣
- 定義：空間上可測函式之集
- 提出者：奧爾利奇
概念,可測函式,巴拿赫空間,人物簡介——奧爾利茲,
概念
奧爾利奇空間(Orlicz space)是L(1<p<∞)空間的推廣。設定義在正半實軸上的函式Φ(t)滿足：
並滿足倍增條件Φ(2t)≤CΦ(t)(C是正的常數，t∈R+)。所有使得：
的R上的可測函式f之集稱為奧爾利奇空間，記為L*Φ。它是以‖·‖為範數的巴拿赫空間。L(R) (1≤p<+∞)是對應於Φ(t)=t的特殊奧爾利奇空間。奧爾利奇空間是由奧爾利奇(Orlicz ，W.)在20世紀30年代引進的。
可測函式
可測函式是分析學中討論得最廣的函式類。它有許多等價的定義方式，這裡採用如下定義：設(Ω，F)為可測空間，f(x)是定義在Ω上的實值(或擴充實值)函式。若對任意實數c，恆有{x|f(x)>c}∈F，則f(x)稱為(Ω，F)中的可測函式或Ω上的F可測函式。在這個定義中，條件f(x)>c可用f(x)≥c，f(x)<c，f(x)≤c中任一條件來替代。當F為與特殊的測度相應的可測集類時，相應的可測函式可以冠以這些測度的名稱。例如說f(x)為波萊爾可測函式、勒貝格可測函式等。f(x)在(Ω，F)上可測的充分必要條件是，對於直線上的任何波萊爾集M，f(M)是可測集，即f(M)∈F.勒貝格可測函式的概念是由勒貝格(Lebesgue，H.L.)於1902年引入的，拉東(Radon，J.)於1913年把它推廣到一般的可測空間。除一些涉及R中的特殊拓撲性質(如盧津定理)外，可測空間中的可測函式的性質與勒貝格可測函式的性質基本相同。例如，可測函式類對於四則運算封閉，對於極限運算封閉，幾乎處處收斂的可測函式列是近於一致收斂的，也即葉戈羅夫定理(參見本卷《實變函式論》中的相關條目)成立。
巴拿赫空間
20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。
1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。
