對稱雙曲型方程組

對稱雙曲型方程組(system of symmetric hyperbolic equations)是能量不等式最自然地成立的一類方程組。

基本介紹

• 中文名：對稱雙曲型方程組
• 外文名：system of symmetric hyperbolic equations
• 領域：數學
• 性質：一類方程組
• 特點：能量不等式最自然地成立
• 人物：弗里德里希斯

概念

對稱雙曲型方程組(system of symmetric hyperbolic equations)是能量不等式最自然地成立的一類方程組。當矩陣形式的一階線性方程組：

的每個A_i(x)都是對稱矩陣時，稱(1)為一階對稱方程組；若A_i(x)的某一個線性組合：

為正定時，則稱(1)為(弗里德里希斯意義下的)對稱雙曲型方程組。對稱雙曲型方程組必是通常意義下的雙曲型方程組。如果令：

則可將方程組(1)寫成：

若γ+γ^T為正定矩陣(γ表γ的轉置)，則稱(1)和(2)為正對稱方程組，運算元L稱為正對稱運算元。弗里德里希斯(Friedrichs，K.O.)成功地把包含橢圓型、雙曲型、拋物型和簡單混合型方程的適定邊值問題歸結為正對稱方程組的“可容許”邊值問題，進行統一地研究。但是在弗里德里希斯的理論中有一個困難：沒有給出將給定方程的給定邊值問題化為正對稱組的可容許問題的統一方法。

弗里德里希斯

美國數學家。1901年9月 28 日生於德國基爾，1983年1月 2 日卒於美國紐約。1925年獲格廷根大學博士學位。1925—1937年曾任教於格廷根、亞琛、不倫瑞克等院校。1937年移居美國，任教紐約大學，1943年起任庫朗研究所套用數學教授，1953—1967年先後任研究所副所長和所長，1974年退休。1968—1969年任美國數學會副主席。1958年被選為美國藝術與科學學院院士，1959年被選為美國全國科學院院士。他還是格廷根科學院、慕尼黑科學院的通訊院士。

弗里德里希斯的工作涉及數學物理、偏微分方程、彈性與流體力學等。他第一個把希爾伯特空間幾何理論用於偏微分運算元。1934年，他關於對稱橢圓運算元半有界擴張的工作開始了用泛函方法研究二階橢圓方程。他還引入了對稱線性雙曲微分方程，並證明了初始值問題解的存在性。他曾研究過連續譜運算元，並引入了與前向和後向波運算元一致的一對運算元。

弗里德里希斯於1972年獲美國國家科學院套用數學與數值分析獎，1977年獲美國國家科學獎章。著有《量子域理論的數學問題》(MathematicalAspects of the Quantum Theo-ry of Fields，1953)、《希爾伯特空間的運算元譜理論》(SpectralTheory of Operators in HilbertSpace，1973) 、《電磁理論的數學方法》(Mathematical Methods of ElectromagneticTheory，1974)、《泛函積分》(Integration of Functionals，1976，與人合作)等多種書。

對稱矩陣

對稱矩陣（Symmetric Matrices）是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣。在線性代數中，對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念並給出了一些有關的結論。

1.對於任何方形矩陣X，X+X^T是對稱矩陣。

2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。

3.對角矩陣都是對稱矩陣。

4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。

5.用<,>表示上的內積。n×n的實矩陣A是對稱的，若且唯若對於所有X, Y∈，。

6.任何方形矩陣X，如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：

7.每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個復對稱矩陣的積。

8.若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Hermite矩陣。

9.一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。

10.如果X是對稱矩陣,那么AXA^T也是對稱矩陣。

11.n階實對稱矩陣，是n維歐式空間V（R）的對稱變換在單位正交基下所對應的矩陣。