外微分形式

外微分形式簡介

微分形式是多變數微積分、微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式，及其以楔積(wedge product)和外微分結構形成外代數的想法，都是由法國數學家埃里·嘉當引入的。

我們從R中的開集的情形開始。一個0-形式（0-form）定義為一個光滑函式f. 當我們在R的m-維子空間S上對函式f積分時，我們將積分寫作：

把dx₁, ...,dx_n當作形式化的對象，而非讓積分看起來像個黎曼和的標記。我們把這些和他們的負−dx₁, ..., −dx_n叫做基本'1-形式。

我們再在其上定義一種乘法規則楔積，這種乘法只需滿足反交換的條件：對所有i,j

注意這意味著

我們把這些乘積的集合叫做基本2-形式，類似的我們定義乘積

的集合為基本'3-形式，這裡假定n至少為3。定義一個單項式'k-形式為一個0-形式乘以一個基本的k-形式，定義k-形式為一些單項式k-形式的和。

楔積可以推廣到這些和上：

等等，這裡dx_I和類似的項表示k-形式。換句話說，和的積就是所有可能的積的和。

我們來定義光滑流形上的k-形式。為此，我們假設有一個開坐標覆蓋。我們可以在每個坐標鄰域上定義一個k-形式；一個全局的k-形式就是一組坐標領域上的k-形式，他們在坐標鄰域的交集上一致。這種一致的精確定義，見流形。

若f,g,w為任意微分形式，則

若f為k-形式，g為l-形式：

在微分幾何中，k階微分k-形式是一個流形的餘切叢的k階外冪（exterior power）的光滑截面。在流形的每一點p,一個k-形式給出一個從切空間的k階笛卡兒冪（cartesian power）到R的多線性映射。

例如，光滑函式（0-形式）的微分就是一個1-形式。

1-形式在張量的坐標無關表示中是一個很有用的基本概念。在這個上下文中，他們可以定義為向量的的實值函式，並可以看成他們所對應的向量空間的對偶空間。1-形式的一個舊稱就是"協變向量"。

k階微分形式可以在k維鏈（chain）上積分。若k= 0,這就是函式在點上的取值。其他的k= 1, 2, 3, ...對應於線積分，曲面積分，體積分等等。

設

為一微分形式，設S為一個我們想在其上積分的集合，其中S有參數化形式

u屬於參數域D。則[Rudin, 1976]定義S上微分形式的積分為

其中

是雅可比矩陣的行列式。參見斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

一個流形上所有k-形式的集合是一個向量空間。而且，其上有三類操作：楔積,外微分（用d表示），和李導數。d= 0,細節請見德拉姆上同調。

外導數和積分的基本關係由推廣的斯托克斯定理給出，它也同時給出了德拉姆上同調和鏈的同調的對偶性。