垂足三角形

垂足三角形(pedal triangle)是一種特殊三角形，指從三角形的三個頂點向對邊作垂線段(即高)，連結三個垂足所得的三角形。

基本介紹

• 中文名：垂足三角形
• 外文名：pedal triangle
• 所屬學科：數學
• 定義：銳角三角形三邊的垂足形成三角形
• 相關概念：垂足，內接三角形等

定義

垂足三角形是一種特殊三角形，指從三角形的三個頂點向對邊作垂線段(即高)，連結三個垂足所得的三角形。如圖，為的高，則是的垂足三角形，如果一個三角形的三個頂點分別在另一個三角形的三條邊上，則該三角形稱為另一個三角形的內接三角形，銳角三角形的垂足三角形必是它的內接三角形，在銳角三角形的所有內接三角形中，以垂足三角形的周長為最短，該問題稱為施瓦茲三角形問題。

圖1

相關結論

如圖2，在銳角三角形中，於D，於E，於F，則叫的垂足三角形。不難證明，原三角形的垂心是它的垂足三角形的內心：由四點共圓，知，即是的餘角。同理，由四點共圓，知，也是的餘角，所以是的平分線。同理是的平分線。

圖2

如圖3，的垂心H的切瓦三角形（見下文）或稱是它的射影三角形是垂足三角形(Orthic Triangle)，也稱為高線三角形，垂足也是重心G的圓切瓦三角形，如圖3。

圖3

垂足三角形各頂點的三線坐標矩陣是

它的面積是

它的三條邊長是

對於鈍角和直角三角形，垂足三角形的半周長可以用下式表示

對於銳角三角形有一簡化公式

在銳角三角形中，任何內接三角形中以垂足三角形的周長最小。在中，作出三個三角形的共軛重心，則它們分別在的三條中線上，如圖4。

圖4

如果作出的歐拉線，則三條歐拉線交於一點，該點在的九點圓上。若該點定為P，則下列等式中必有一個成立

給定及其平面上，但不在三角形邊上的一點P，聯結交對應邊於則稱為P點關於的切瓦三角形(Cevian Triangle)，如圖5。

圖5