商度量空間

商度量空間是度量空間的一種，一個拓撲空間是序列的，若且唯若該空間是個度量空間的商空間。

基本介紹

• 中文名：商度量空間
• 學科：數學

介紹

在數學中，度量空間是個具有距離函式的集合，該距離函式定義集合內所有元素間之距離。此一距離函式被稱為集合上的度量。

度量空間中最符合人們對於現實直觀理解的為三維歐幾里得空間。事實上，“度量”的概念即是歐幾里得距離四個周知的性質之推廣。歐幾里得度量定義了兩點間之距離為連線這兩點的直線段之長度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狹義相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。

度量空間還能導出開集與閉集之類的拓撲性質，這導致了對更抽象的拓撲空間之研究。

若 M 為度量空間，其度量為 d，且 ~ 為 M 上之等價關係，則可在商集合 M/~ 上賦加下面的（偽）度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y]，可定義

其中，（即取從 [x] 至 [y] 經過所有等價類之路徑的最短長度）。一般來說，這僅能定義出一個偽度量，即 d'([x],[y])=0 不一定蘊涵 [x] = [y]。不過，對於良好的等價關係（如將多面體沿著面膠合），則會是個度量。此外，若 M 是個緊緻空間，則該度量在 M/~ 上導出之拓撲為商拓撲。

商度量 d 具有下列泛性質：若 是個度量空間之間的度量映射（即對於所有 x、y，），滿足當 時，f(x)=f(y) 的條件，則函式 定義為 ，亦會是個度量映射。

一個拓撲空間是序列的，若且唯若該空間是個度量空間的商空間。

度量空間的推廣

• 每個度量空間都自然會是個一致空間，而每個一致空間也都自然會是個拓撲空間。因此，一致空間與拓撲空間均可視為度量空間的推廣。
• 若考量上面給定之度量空間的第一個定義，放寬定義中的第二個條件，則可得到偽度量空間。若移除第三個或第四個條件，則可分別得到擬度量空間與半度量空間。
• 若距離函式的對應域為擴展實數線R∪{+∞}，定義中的四個條件維持不變，則稱該空間為擴展度量空間。若距離函式的對應域為某個（適當的）有序集（且三角不等式有對應的調整），則可得出“擴展超度量”這個概念。
• 趨近空間是度量空間的推廣，以點對集合的距離取代點對點的距離。
• 連續性空間是度量空間與偏序集的推廣，用來統整度量空間與域的概念。
• 部分度量空間是為了對度量空間作最小化的推廣，使得每個點對自身的距離不再一定為零。

度量空間等價性的概念

度量空間之間有著不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函式，可給出不同等價的程度與類型。

給定兩個度量空間 (M₁,d₁) 和 (M₂,d₂):

• 這兩個空間稱之為同胚（拓撲同構）的，若存在兩者間的同胚（即兩個方向均為連續的雙射）。在此條件下，這兩個空間能導出相同的拓撲空間。
• 這兩個空間稱之為一致同構的，若存在兩者間的一致同構（即兩個方向均為一致連續的雙射）。
• 這兩個空間稱之為等距同構的，若存在兩者間的等距同構雙射。在此一條件下，兩個度量空間基本上是相同的。
• 這兩個空間稱之為擬等距同構的，若存在兩者間的擬等距同構。

參見

• 三角不等式
• 利普希茨連續
• 等距同構，壓縮映射和度量映射
• 範數