半正定矩陣是正定矩陣的推廣。實對稱矩陣A稱為半正定的，如果二次型X'AX半正定，即對於任意不為0的實列向量X，都有X'AX≥0.
基本介紹
- 中文名：半正定矩陣
- 外文名： positive semidefinite matrix
- 對應：半正定二次型
- 相關概念：正定
- 類別：數學
- 領域：線性代數
概述,廣義定義,狹義定義,性質,判定,
概述
正定矩陣的研究最先出現於二次型與Hermite型的研究中，而且只限於對實對稱矩陣或Hermite矩陣的使用。隨著數學本身及其它學科(如數學規劃、投入產出的矩陣理論、現代控制等)的需要,有不少人開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。
廣義定義
定義1 設A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X‘'表示X的轉置，就稱A為半正定矩陣。
狹義定義
（常用定義）
定義2 設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX≥0，則稱A為半正定矩陣，稱X'AX為半正定二次型。（其中，X'表示X的轉置。）
註：1）設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX>0，則稱A為正定矩陣，稱X'AX為正定二次型。
2）設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX<0，則稱A為負定矩陣，稱X'AX為負定二次型。
3） 設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX≤0，則稱A為半負定矩陣，稱X'AX為半負定二次型。
4）設A為實對稱矩陣，若A既不是半正定又不是半負定，則稱A為不定矩陣，稱X'AX為不定二次型。
5） 設A為Hermite矩陣，若對於每個非零復向量X，都有X*AX≥0，則稱A為半正定復矩陣。（其中，X*表示X的共軛轉置。）
性質
1.半正定矩陣的行列式是非負的。
2.兩個半正定矩陣的和是半正定的。
3.非負實數與半正定矩陣的數乘矩陣是半正定的。
判定
定理 設A是n階實對稱矩陣，則下列的條件等價：
1.A是半正定的。
2.A的所有主子式均為非負的。
3.A的特徵值均為非負的。
4.存在n階實矩陣C，使A=C′C.
5.存在秩為r的r×n實矩陣B，使A=B′B.
