勒讓德符號

勒讓德符號，或二次特徵，是一個由阿德里安-馬里·勒讓德在1798年嘗試證明二次互反律時引入的函式。這個符號是許多高次剩餘符號的原型；其它延伸和推廣包括雅可比符號、克羅內克符號、希爾伯特符號，以及阿廷符號。

基本介紹

• 中文名：勒讓德符號
• 外文名：legendre symbol
• 提出者：阿德里安-馬里·勒讓德
• 提出時間：1798年
• 相關術語：雅可比符號
• 描述：是許多高次剩餘符號的原型
• 套用學科：數學

定義

勒讓德符號 （有時為了印刷上的方便，寫成(a|p))有下列定義：

	如果
	如果; ，且對於某個整數
	如果不存在整數 x，使得; 。

如果(a|p) = 1，a便稱為二次剩餘(modp)；如果(a|p) = −1，則a稱為二次非剩餘(mod p)。通常把零視為一種特殊的情況。

a等於0、1、2、……時的周期數列(a|p)，又稱為勒讓德數列，有時把{0,1,-1}的數值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。

公式

勒讓德原先把他的符號定義為：

歐拉在之前證明了這個表達式是≡ 1 (modp)，如果a是二次剩餘(modp)，是≡ −1如果a是二次非剩餘；這個結論現在稱為歐拉準則。

除了這個基本公式以外，還有許多其它(a|p)的表達式，它們當中有許多都在二次互反律的證明中有所使用。

高斯證明了如果 ，那么：

這是他對二次互反律的第四個、第六個，以及許多後續的證明的基礎。參見高斯和。

克羅內克的證明是建立了

然後把p和q互換。

艾森斯坦的一個證明是從以下等式開始：

把正弦函式用橢圓函式來代替，他也證明了三次和四次互反律。

其它公式

斐波那契數1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由遞推公式F₁= F₂= 1，F_n+1= F_n+ F_n-1定義。

如果p是素數，則：

例如：

這個結果來自盧卡斯數列的理論，在素性測試中有所套用。

性質

勒讓德符號有許多有用的性質，可以用來加速計算。它們包括：

（它是一個完全積性函式。這個性質可以理解為：兩個剩餘或非剩餘的乘積是剩餘，一個剩餘與一個非剩餘的乘積是非剩餘。）

如果a≡b(modp)，則

這個性質稱為二次互反律的第一補充。

這個性質稱為二次互反律的第二補充。一般的二次互反律為：

如果p和q是奇素數，則

勒讓德符號(a|p)是一個狄利克雷特徵(modp)。

計算例子

以上的性質，包括二次互反律，可以用來計算任何勒讓德符號。例如：

相關函式

• 雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，允許底數為合數，但底數仍然必須是奇數和正數。這個推廣提供了計算所有勒讓德符號的一個有效的方法。
  
• 一個進一步的推廣是克羅內克符號，把底數的範圍延伸到一切整數。