基本介紹
- 中文名：莫德爾方程
- 外文名：Mordell equation
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：初等數論(不定方程)
- 簡介：一種著名的二元三次不定方程
基本介紹,關於莫德爾方程的一些結果,
基本介紹
莫德爾方程是一種著名的二元三次不定方程，指k為整數的不定方程
多數莫德爾方程具有整數解，雖然只有有限個，但能求出它的全部解也是很困難的事，即使k很小。對某個k，求出它的全部解，有時是一篇論文的主題。
例如，1954年的一篇博士論文就是求莫德爾方程y2=x3+17(y>0)的全部整數解(x，y) = (﹣1，4)，(﹣2，3)，(2，5)，(4，9)，(8，23)，(43，282)，(52，375)，(5234，378661)，共八組解。
關於莫德爾方程的一些結果
費馬(Fermat，P.de)在評註丟番圖(Diophantus，(A.))《算術》的頁邊注中宣布：他發現了一個美妙而精巧的方法，證明了方程y2=x3-2僅有一組正整數解(x，y)=(3，5)，但他的證明未找到，引起了許多數學工作者去探索方程(1)的解法。從歐拉(L.Euler)到近代的哈爾(A.Haar)、莫德爾(L.J.Mordell)、貝克(A.Baker)都曾研究過它。人們的探索豐富和發展了數論的內容，並得到一些有普遍意義的方法。如初等數論方法、代數數論方法。他們利用同餘式和二次剩餘理論對不定方程(1)首先得到下面結果：
1.當a，b為整數，且a沒有4t+3形狀的素因子時，不定方程y2=x3+(4b-1)3-4a2沒有整數解，由此可知，方程y2=x3-5，y2=x3-17，y2=x3+11均無整數解。
2.當a，b為整數，且2a+1沒有4t+3形狀的素因子時，不定方程y2=x3+(4b+2)3-(2a+1)2無整數解。
3.當a≡2，4(mod 8)，b≡1(mod 2)，且b沒有8t±3形狀的素因子時，方程y2=x3+2b2-a3無整數解。
4.當a≡4(mod 8)，b≡1(mod 2)，且b無形如8t+5和8t+7的素因子時，方程y2=x3-2b2+a3無整數解。更一般地，當a≡-1(mod 4)，b≡0(mod 2)，k無平方因子，(k，b)=1，k≡3(mod 4)，k≡2(mod 3)，b
0(mod 3)，對每一個奇素數p，勒讓德符號
