二次剩餘

二次剩餘

二次剩餘是數論基本概念之一。它是初等數論中非常重要的結果，不僅可用來判斷二次同餘式是否有解，還有很多用途。C.F.高斯稱它為算術中的寶石，他一人先後給出多個證明。

研究二次剩餘的理論稱為二次剩餘理論。二次剩餘理論在實際上有廣泛的套用，包括從噪音工程學到密碼學以及大數分解。

基本介紹

  • 中文名：二次剩餘
  • 外文名：Quadratic residue
  • 套用學科：數學
  • 用途：用來判斷二次同餘式是否有解
  • 相關術語：二次剩餘理論
  • 套用領域：噪音工程學到密碼學以及大數分解
定義,幾個自然數,歷史及概念,基本結論,質數二次剩餘,質數乘方,合數二次剩餘,相關記號,推廣,

定義

在數論中，特別在同餘理論里，一個整數X對另一個整數p的二次剩餘（英語：Quadratic residue）指X的平方除以p得到的餘數。
當存在某個X，式子
成立時，稱“d是模p的二次剩餘”
當對任意不成立時，稱“ d是模 p的二次非剩餘”

幾個自然數

下表列出了1至25對2至25的二次剩餘。
二次剩餘列表
n12345678910111213141516171819202122232425
mod 2
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0
1
0
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mod 3
1
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mod 7
1
4
2
2
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2
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mod 8
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0
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mod 9
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7
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4
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7
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7
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mod 10
1
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1
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mod 12
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mod 13
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10
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10
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4
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1
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2
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8
7
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2
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mod 15
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mod 17
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13
13
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8
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mod 18
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mod 19
1
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5
5
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6
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mod 22
1
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mod 23
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2
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6
8
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3
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2
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4
mod 24
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1
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1
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1
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19
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9
4
1
0

歷史及概念

從17世紀到18世紀，費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩餘理論作了初步的研究，證明了一些定理並作出了一些相關的猜想，但首先對二次剩餘進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae，1801年）中首次引入了術語“二次剩餘”與“二次非剩餘”，並聲明在不至於導致混淆的行文中，可以省略“二次”兩字。
為了得到關於一個整數 n的所有二次剩餘（在一個完全剩餘系中），我們可以直接計算0, 1,…,n− 1的平方模n的餘數。但只要注意到a≡(n−a)(modn)，我們就可以減少一半的計算量，只算到n/2了。於是，關於n的二次剩餘的個數不可能超過n/2 + 1（n為偶數）或(n+ 1)/2（n為奇數）。
兩個二次剩餘的乘積必然還是二次剩餘。

基本結論

質數二次剩餘

對於質數2，每個整數都是它的二次剩餘。
以下討論p是奇質數的情況：
對於X，
而言，能滿足“d是模 p的二次剩餘”的 d共有
個（剩餘類），分別為：
（0計算在內）
此外是
個二次非剩餘。但在很多情況下，我們只考慮乘法群Z/pZ，因此不將0包括在內。這樣，每個二次剩餘的乘法逆元仍然是二次剩餘；二次非剩餘的乘法逆元仍然是二次非剩餘。二次剩餘的個數與二次非剩餘的個數相等，都是。此外，兩個二次非剩餘的乘積是二次剩餘，二次剩餘和二次非剩餘的乘積是二次非剩餘。
套用二次互反律可以知道，當p模4餘1時，-1是p的二次剩餘；如果p模4餘3，那么，-1是p的二次非剩餘。
要知道d是否為模p的二次剩餘，可以運用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。

質數乘方

每個奇數的平方都模8餘1，因此模4也餘1。設a是一個奇數。m為8，16或2的更高次方，那么a是關於m的二次剩餘若且唯若a≡ 1(mod 8)。
比如說，在模32時，所有的奇數的平方分別是：
  • 1≡ 15≡ 1
  • 3≡ 13≡ 9
  • 5≡ 11≡ 25
  • 7≡ 9≡ 17
模8都餘1。而偶數的二次剩餘是：
  • 0≡ 8≡ 16≡ 0
  • 2≡ 6≡ 10≡ 14≡ 4
  • 4≡ 12≡ 16
可以看出，關於8，16或2的更高次方的二次剩餘是具有4(8n+ 1)形式的所有數，其中k、n為整數。
對於奇質數p以及與p互質的整數A，A是關於p的若干次乘方的剩餘若且唯若它是關於p的剩餘。
設模的是p（n次乘方），
  • 那么pA
  • 當k≥n時是模p的剩餘；
  • 當k<n並為奇數時是模p的非剩餘。
當k<n並為偶數時，
  • 如果A是關於p的剩餘，那么pA就是模p的剩餘；
  • 如果A是關於p的非剩餘，那么pA就是模p的非剩餘。

合數二次剩餘

首先可以看出，
  • 如果a是模n的剩餘，並且p整除n，那么a是模p的剩餘。
  • 如果a是模n的非剩餘，那么存在p整除n，使得a是模p的非剩餘。
對於模合數的情況，兩個剩餘的乘積仍然是剩餘，剩餘和非剩餘的乘積必為非剩餘，但是兩個非剩餘的乘積則可能是剩餘、非剩餘或0。
比如，對於模15的情況
1, 2, 3,4, 5,6, 7, 8,9,10, 11, 12, 13, 14（粗斜體為二次剩餘）。
兩個二次非剩餘2和8的乘積是二次剩餘1，但另外兩個二次非剩餘2和7的乘積是二次非剩餘14。

相關記號

高斯使用R和N來分別表示二次剩餘及二次非剩餘。例如：2 R 7，5 N 7，並且1 和5 R 8，3和7 N 8。儘管這種記號在某些方面來說十分簡潔，但現今最常用的是勒讓德符號，或稱二次特徵（見狄利克雷特徵）。對於整數a及奇質數p，
    如果p整除a；
    如果a是模p的二次剩餘且p不整除a
    如果a是模p的二次非剩餘。
      之所以將0另分一類有兩個原因。首先，這使公式和定理敘述方便。其次，二次特徵是一個從乘法群Z/pZ射到複數域的群同態，
      可以將這個同態擴張到整數構成的乘法半群。
      相比高斯的記號，勒讓德符號的優勢在於可以寫在公式里（作為一個數字值）。此外勒讓德符號可以推廣到三次以至高次剩餘。
      勒讓德符號中的分母只限奇質數，對於一般的合數，有推廣的雅可比符號。雅可比符號的性質比前者複雜。如果aRm那么
      ，如果
      那么aNm。但如果
      ，我們不能知道aRm還是aNm。

      推廣

      二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意X，
      中d是否為模p的n次剩餘的問題。

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