素數又稱質數，是在大於1的整數中，只能被1和其自身整除的數（如2、3、5等）。素性測試是檢驗一個給定的整數是否為素數的測試。
基本介紹
確定型算法,隨機算法,
確定型算法
上下素性判定法
首先，本文英文字母都表示整數，上半部B 》3N 》W，下半部B 》W 》3N。大於3的素數只有6N-1和6N+1兩種形式，我們只需判定這兩種數是素數還是合數即可。
命題 1 對於B=36N+1 形數而言。
若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N-W）-1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 2對於B=36N+7 形數而言。
若不定方 （3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（3N-W）+1 是小因子數，6（3N+W+1）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+W+3）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 3對於B=36N+13 形數而言。
若不定方程 （3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N+1-W）+1 是小因子數，6（3N+1+W）+1是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數解，
則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 4 對於B=36N+19 形數而言。
若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（3N+1-W）+1 是小因子數；6（3N+2+W）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（3N+1-W）-1 是小因子數；6（3N+2+W）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 5 對於B=36N+25 形數而言。
若不定方 （3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解，
則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+2+W）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解，
則 6（3N+1-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 6 對於B=36N+31 形數而言。
若不定方程 （3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解，
則 6（3N-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 7對於B=36N-1 形數而言。
若不定方程（3N）^2-N+（B-1）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。
若不定方程 （3N）^2+N+（B-1）/36=W^2 有整數解，
則 6（W-3N）-1 是小因子數；6（W+3N）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 8對於B=36N+5 形數而言。
若不定方 （3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（W-3N）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1 是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+3）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 9對於B=36N+11 形數而言。
若不定方程 （3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數解，
則 6（W-3N-1）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數解，
則 6(W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 10 對於B=36N+17 形數而言。
若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（W-3N-1）+1 是小因子數；6（W+3N+2）-1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（W-3N-1）-1 是小因子數；6（W+3N+2）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 11 對於B=36N+23 形數而言。
若不定方 （3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解，
則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+2）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解，
則 6（W-3N-1）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 12 對於B=36N+31 形數而言。
若不定方程 （3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。
