勒讓德函式

在數學中，勒讓德函式P_λ，Q_λ和相關的勒讓德函式P_λ，Q_λ是勒讓德多項式與非整數度的泛化。

基本介紹

• 中文名：勒讓德函式
• 外文名：Legendre function
• 所屬學科：數學
• 實質：勒讓德多項式與非整數度的泛化
• 字母表示：Pλ，Qλ
• 相關名詞：伽馬函式

簡介

在數學中，勒讓德函式P_λ，Q_λ和相關的勒讓德函式P_λ，Q_λ是勒讓德多項式與非整數度的泛化。

微分方程

相關的勒讓德函式是勒讓德方程的解

其中複數λ和μ分別稱為相關的勒讓德函式的度數和順序。 勒讓德多項式是階數μ= 0的勒讓德函式。

這是一個具有三個常規奇異點（在1，-1和∞）的二階線性方程。 像所有這樣的等式，它可以通過變數的變化被轉換為超幾何微分方程，並且其解可以用超幾何函式來表示。

公式

這些功能實際上可以用於一般複雜參數和參數：

分母中包含伽馬函式，₂F₁是超幾何函式。

二階微分方程具有第二個解，其定義為Q_λ（z）。

勒讓德P和Q函式之間有用的關係是Whipple的公式。

積分表示

勒讓德函式可以寫成輪廓積分。 例如，

其中輪廓沿正方向繞著點1和z旋轉，並且不繞-1。 對於真正的x，我們有

勒讓德功能為字元

P_s的真實積分表示在L（G / / K）其中 G // K是SL（2，R）的雙陪集空間（見區域球面 功能）。 實際上，L（G / / K）上的傅立葉變換由

其中，

勒讓德多項式

勒讓德多項式是下列勒讓德微分方程的多項式解：

其中n 為正整數。

生成函式

勒讓德多項式的生成函式為

前幾個勒讓德多項式：

正交關係

勒讓德多項式在（-1,1）取決滿足如下的正交關係式：

第一類勒讓德函式

其中F為超幾何函式，v非整數。如v為整數，則解為勒讓德多項式

第一類勒讓德函式2D圖

第一類勒讓德函式3D圖

第二類勒讓德函式

第二類勒讓德函式2D圖

第二類勒讓德函式3D 圖