球函式

球函式(spherical function)通常指連帶勒讓德方程的解，亦即連帶勒讓德函式。有時也把面調和函式稱為球函式。在球坐標系中用分離變數法解拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程時可出現這些函式。

在現代數學中，球函式及其推廣已被廣泛套用於拓撲群的酉表示。

基本介紹

• 中文名：球函式
• 外文名：spherical function
• 別名：面調和函式
• 領域：數學
• 學科：函式
• 定義：指連帶勒讓德方程的解

知識要點

在函式u可能與φ角有關的一般情況下，方程▽u=0的分離變數形式的通解為

其中

即為球函式，它滿足單值、有限的自然邊界條件。式中|m|≦l，N_lm為歸一化因子：

連帶勒讓德方程

連帶勒讓德方程是數學物理中常見的常微分方程之一。其形式為：

作變換：

又可寫成：

此方程有三個奇點(±1，∞)，且均為正則奇點，故可化為超幾何方程。

在球坐標系下將拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程分離變數時，可出現連帶勒讓德方程。

調和函式

稱定義在R的開集U上的復值函式f是調和的，如果它在U上二次連續可微，且它經拉普拉斯運算元作用後為零：Δf=0。

可以證明，U上的分布T滿足ΔT=0，則T是解析且調和的函式。為使在U上局部可積的函式f是調和的，必須且只須對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球含於U中的正實數α，f(a)等於f在球B上的平均值。或等於f在以a為中心、α為半徑的球面上的平均值。由此容易推出： 定義在連通開集U上、使 |f|在U的一點達到其極大值的調和函式是常值函式(極大值原理)。

C之開集U上的所有全純函式是調和的，它們的實部與虛部也是調和的。反之，如果U是C的單連通開集，則對任一實值調和函式f，存在U上的全純函式g，使Re(g)=f。

極大值原理可推廣到稱為次調和函式的更一般的函式類；這是一些定義在U上、在[-∞，+∞[中取值的上半連續函式，而對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球B含在U中的正實數α，f(a)小於f在B上的平均值。

R的開區間上的次調和實值函式正好是這一區間上的凸函式。

對C之開集U上的任一全純函式f，函式log|f|是次調和的。因而C之開集U上的次調和函式的研究能套用於全純函式的研究。將這種方法推廣於研究Cn之開集U上的全純函式情況，導致引入一個函式類，稱為多元次調和函式類；這是一些定義在U上，在[-∞，+∞[中取值的上半連續函式，且對C的任一直線D，f在D∪U上的限制是次調和函式。

分離變數法

求偏微分方程定解問題顯式解的基本方法。在解線性偏微分方程的混合問題或邊值問題時，先求滿足邊界條件的變數分離的特解，再利用疊加原理，做這些特解的線性組合，得到定解問題的解，這就是分離變數法。

區分線性與非線性的一條基本準則。令x為系統的輸入變數，y為系統的輸出變數，f()為輸出對輸入的回響函式y=f(x)。該系統滿足疊加原理，指以下兩個條件同時成立：

1.可加性。f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)。

2.齊次性。f(kx)=kf(x) (k為任何常實數)。

凡同時滿足可加性和齊次性要求的是線性系統，至少一個要求不滿足的是非線性系統。