勒讓德條件

勒讓德條件(Legendre condition)是勒讓德(A.-M.Legendre)於1786年得到的。對於一個給定的最簡泛函，要檢驗維爾斯特拉斯條件是否成立，一般是比較困難的，勒讓德條件是一種能代替維爾斯特拉斯條件的比較容易檢驗的條件。勒讓德條件也是泛函取得極值的必要條件。

基本介紹

• 中文名：勒讓德條件
• 外文名：Legendre condition
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：變分法
• 提出者：勒讓德(A.-M.Legendre)
• 簡介：弱極值的一個必要條件
• 提出時間：1786年

定義

勒讓德條件是弱極值的一個必要條件，平穩函式 使泛函

取極小值(或極大值)的必要條件是

稱其為勒讓德條件。此外，若沿著場的平穩曲線滿足條件 ，則稱為嚴格勒讓德條件。若

則稱為強勒讓德條件。

對一般的 ，勒讓德條件是

對強勒讓德條件，“≥”改為“>”。

相關介紹

對於一個給定的最簡泛函，要檢驗魏爾斯特拉斯條件是否成立，一般情況下比較困難。所以希望能用一個比較簡單的條件來代替魏爾斯特拉斯條件。

設最簡泛函

其邊界條件為

式中，被積函式 具有連續二階偏導數。將被積函式 關於變元 在 處展成泰勒公式

式中，q介於p和 之間。

將式(3)代入魏爾斯特拉斯函式 中，得

因 ，故式(4)成為

可見 與 具有相同的符號，故魏爾斯特拉斯條件可用下面的條件來代替

(或 ).

式(6)是勒讓德於1786年通過研究二次變分提出來的，稱為泛函式(1)的勒讓德條件。如果式(6)是嚴格的不等式，則稱為勒讓德強條件。勒讓德條件也是泛函取得極值的必要條件。泛函的一條極值曲線包含在極值曲線場中的充分條件是必須滿足勒讓德強條件。

相關定理

設泛函 ，其邊界條件為 ，其中 具有連續二階偏導數，並設 為該泛函的極值函式，若滿足下列條件：

(1) 為雅可比方程的解，且 ；

(2) 在區間 內有 ；

(3) 在區間 內不變號；

那么當 時， 為弱極小值；當 時， 為弱極大值。

例題解析

例1 試判斷泛函 的勒讓德條件是否成立。

解： 。當 時，勒讓德條件成立。當 時，勒讓德強條件成立。

例2 設泛函 。試判斷該泛函的極值曲線是否能包含在一個相應的極值曲線場中。

解：因泛函只是 的函式，故其歐拉方程為 ，由邊界條件得 ，於是極值曲線為 ，相應的極值曲線場為 。此時，勒讓德強條件為

若使勒讓德條件成立，應有 ，即只有當 時，極值曲線才能包含在 的極值曲線場中。