基本介紹
- 中文名：圓錐函式
- 外文名：conical function
- 領域：數學
- 區域：錐形區域
- 目的：求解邊值問題
- 函式：連帶勒讓德函式
概念,連帶勒讓德函式,連帶勒讓德函式的廣義傅立葉級數展開,微分方程,邊值問題,
概念
圓錐函式(conical function)是在錐形區域中解某些邊值問題時出現的一類特殊函式。即微分方程：
的解：
它們是連帶勒讓德函式Pν(z)和Qν(z)的特殊情形。
連帶勒讓德函式
連帶勒讓德函式有兩類：第一類連帶勒讓德函式、第二類連帶勒讓德函式
連帶勒讓德函式是連帶勒讓德方程：
的解，當
為任意整數的情形時，連帶勒讓德方程為
的一個解
記作
.另一個解為
記作
，即
連帶勒讓德函式的廣義傅立葉級數展開
其中廣義傅立葉係數為
若令
,，則以上兩式可寫成
微分方程
含有自變數、未知函式和未知函式導數(或微分)的方程稱為微分方程。只有一個自變數的微分方程稱為常微分方程。一般形式為
F[x，y，y′，…，y(n)]=0
x是自變數，y是x的未知函式y=y(x)，而y′，y″…y(n)依次是函式y對x的一階、二階…n階導數。方程中未知函式的最高階導數的階叫做微分方程的階。如y″+y=0是二階常微分方程。
有兩個或多個自變數的微分方程稱為偏微分方程。兩個自變數的二階偏微分方程的一般形式為：F(x，y，u，ux，uy，uxx，uxy，uyy)=0。其中x，y為自變數， u=u(x，y)是x和y的未知函式，ux，uy，uxx，uxy，uyy是u對x，y的一階和二階偏導數。
若把某函式及它的導數代入微分方程，能使方程成為恆等式，這個函式就叫該微分方程的解。含n個獨立任意常數的n階方程的解，稱方程的通解。一階和二階微分方程F(x，y，y′)=0F(x，y，y′y″)=0的通解形式為：y=y(x，c)和y=y(x，c1，c2)。
如果指定通解中的任意一組常數等於某一組固定值，得到微分方程的一個解，叫做特解。
如果函式y及其導數線性地出現在方程中，稱為線性微分方程，否則就是非線性微分方程。例如，y″+y=0，uxy=0為線性微分方程，而(y′)=sinx，(1+uy)ux-2uxuyuxy+(1+ux)uxy=0是非線性微分方程。
邊值問題
在給定的邊界條件下求解偏微分方程組的問 題。在彈性力學中，所要求解的應力分量、應變分量 和位移分量，除應滿足平衡微分方程、幾何方程以及 廣義胡克定律，還必須滿足給定的邊界條件。若為動力學問題，求出的位移還必須滿足初始條件。若 物體為多連通，還需考慮位移單值的條件。按照所 給出的邊界條件不同，有三類邊值問題。第一類邊 值問題：已知作用於物體內的體力及其表面上的面 力，求解這類問題時應滿足應力的邊界條件。第二 類邊值問題：已知作用於物體內的體力及其表面上 的位移，求解時應滿足給定的位移邊界條件。第三 類問題，又稱為混合邊值問題：已知作用於物體內的 體力，在一部分表面上面力為已知，而另一部分上位 移是已知的。這三類邊值問題可以代表一些簡化的 實際工程問題。
邊值問題是定解問題之一。只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題。二階偏微分方程(組)一般有三種邊值問題：第一邊值問題又稱狄利克雷問題，它的邊界條件是給出未知函式本身在邊界上的值；第二邊值問題又稱諾伊曼邊值問題或斜微商問題，它的邊界條件是給出未知函式關於區域邊界的法嚮導數或非切嚮導數；第三邊值問題又稱魯賓問題，它的邊界條件是給出未知函式及其非切嚮導數的組合。
