傅立葉係數

傅立葉係數由Fourier coefficient 翻譯而來，有多箇中文譯名。它是數學分析中的一個概念，常常被套用在信號處理領域中。對於任意的周期信號，如果滿足一定條件，都可以展開三角函式的線性組合，每個展開項的係數稱為傅立葉係數。

基本介紹

• 中文名：傅立葉係數
• 外文名：Fourier coefficient
• 別稱：傅立葉係數
• 歸屬學科：數學
• 基本釋義：信號的傅立葉級數的係數
• 套用：信號處理

數學分析

定義

若在整個數軸上

且等式右邊級數一致收斂，則有如下關係式：

一般地說，若 是以 為周期且在上可積的函式 ，則按上式計算出的稱為函式(關於三角函式系)的傅立葉係數，以的傅立葉係數為係數的三角級數稱為(關於三角函式系)的傅立葉級數，記作：

其中，記號“”表示上式右邊是左邊函式的傅立葉級數

一般的周期函式

若是以為周期且在上可積的函式 ，則：

稱為函式(關於三角函式系)的傅立葉係數

偶函式

若是以為周期的偶函式，或是定義在上的偶函式 ，則：

稱為函式(關於三角函式系)的傅立葉係數

奇函式

若是以為周期的奇函式，或是定義在上的奇函式 ，則：

稱為函式(關於三角函式系)的傅立葉係數

相關定理

定理1

（貝塞爾不等式）

若函式在上可積，則

其中，為函式的傅立葉係數

定理2

若是以為周期且在上可積的函式 ，則它的傅立葉級數部分和

當時，被積函式中的不定式由極限

來確定。

信號與系統

三角傅立葉級數

以高等數學中的知識，任何周期為的周期函式，在滿足狄利克雷條件時，可以由三角函式的線性組合來表示

上式即為周期信號的三角傅立葉級數表達式，其中，為基波信號，為次諧波頻率，是傅立葉係數。

又可表示為

其中，傅立葉係數，振幅，相位之間的關係是

可看出，和都是的偶函式，和都是的奇函式。

指數傅立葉級數

其中，傅立葉係數

還可寫成：