傅立葉一比當定理

傅立葉-比當定理(Fourier-Budan theorem)是關於實係數多項式在確定區間內根的個數的一個命題，該定理斷言：設f(x)是一個實係數n次多項式，如果f(a)≠0，f(b)≠0，a<b，則多項式f(x)在區間(a，b)內實根的個數(k重根按k個計算)等於數列f(a)，f′(a)，…，f⁽ⁿ⁾(a)與f(b)，f′(b)，…，f⁽ⁿ⁾(b)的變號數之差減去一個非負偶數。傅立葉(J.-B.-J.Fourier)和比當(F.F.D.Budan de Boislaurent)各自獨立地發現了此定理。

基本介紹

• 中文名：傅立葉-比當定理
• 外文名：Fourier-Budan theorem
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(多項式)
• 簡介：關於實係數多項式在區間內根個數

基本介紹

傅立葉-比當定理(Fourier-Budan)定理設N(x)為序列f(x),f'(x),...,f⁽ⁿ⁾(x)的變號次數，其中f為n次多項式，則多項式f在a與b之間的根的個數(按其重數計算)——其中f(a)≠0,f(b)≠0，而a< b不超過N(a)－N(b)，且根的個數與N(a)－N(b)之差為偶數。

傅立葉-比當定理定理的證明

證明 設點x沿線節[a,b]由a到b運動，數N(x)能改變僅當x通過多項式f^(m)的根，對某個m≤n。

首先考察當點x通過多項式f(x)的r重根x₀的情形。在點x₀的鄰域多項式f(x),f'(x),...,f^(r)(x)分別接近於。由此知，當x< x₀時這序列有r次變號，而當x> x₀時這序列沒有變號(當x充分接近x₀)。

現假設點x通過多項式f^(m)的r重根x₀,而x₀不是多項式f^(m-1)的根(這時x₀可以是f的根,也可以不是f的根)，只要證,通過點時序列的變號次數改變一個非負偶數，在點的鄰域這些多項式分別接近於。如果除去，則當x< x₀時餘下序列正好有r次變號，而當x>x₀時沒有變號。

再討論開頭兩項，與，當r為偶數時，對x<x₀與x>x₀變號次數相同，而當r為奇數時，對x<x₀的變號次數比對x>x₀的變號次數多1或少1(依賴於與同號或異號)，因此對偶數r，變號次數等於r，對奇數r，變號次數等於r±1，在兩個情形這個變號次數都是非負偶數。

相關推論

推論1(Descartes法則) 多項式的正根個數不超過序列的變號次數。

證明 因，故N(0)與多項式f的係數序列的變號次數相同。又顯然N(+∞)=0，

附註：Jacobi證明了Descartes 法則可用來估計在α與β之間的根的個數。

為此需要作變換,即，又考察多項式

套用Decartes法則到這多項式，給出在α與β之間的根的個數的估值，事實上，當x由α變至β時，y由0變至∞。

推論2(de Gua) 如果多項式缺少相繼的2m個項(即這些項的係數等於零)，則這多項式至少有2m個虛根，又如果缺少2m+1個相繼的項，則當包含它們的項異號時多項式至少有2m個虛根，而當包含它們的項同號多項式至少有2m+2個虛根。

在某些情況下，比較兩個序列的變號次數可得到的根個數比Fourier- Budan定理所給出的更準確估值，這種定理首先由Newton表述，但只是到Sylvester在1871年才證明。

定理(Newton-Sylvester) 設f內無重根的多項式，則多項式f在a與b之間(其中a<b且f(a)f(b)≠0)的根的個數不超過N₊(b)－N_-(a)與N_-(a)－N_-(b)。