圓錐投影

圓錐投影是緯線轉換為同心圓的圓弧，經線轉換為圓的半徑，兩經線夾角與實地相應的經差成正比的一種地圖投影。

構想將一個圓錐套在地球橢球體上而把地球橢球體上的經緯線網投影到圓錐面上，然後沿著某一條母線（經線）將圓錐面切開而展開成平面，就得到圓錐投影。

基本介紹

• 中文名：圓錐投影
• 外文名：Albers conic
• 介紹：以圓錐面為承影面的一類投影
• 投影面：圓錐面
• 切圓錐投影：圓錐面與地球相切時
• 割圓錐投影：圓錐面與地球相割

定義

圓錐投影（Albers conic）是以圓錐面為承影面的一類投影。假想用圓錐包裹著地球且與地球面相切(割)，將經緯網投影到圓錐面上，再將圓錐面展開為平面而成。一般用的是正軸圓錐投影。

圓錐投影構成的一般公式

圓錐投影是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面與地球相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然後把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成。當圓錐面與地球相切時，稱為切圓錐投影；當圓錐面與地球相割時，稱為割圓錐投影。

按圓錐與地球相對位置的不同，也有正軸、橫軸和斜軸圓錐投影。但橫軸和斜軸圓錐投影實際上很少套用，所以凡在地圖上註明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。

正軸切圓錐投影示意圖，視點在地球中心，緯線投影在圓錐面上仍為圓，不同的緯線投影為不同的圓，這些圓都互相平行，經線投影為相交於圓錐頂點的一束直線。如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則成扇形，其頂角小於360°，在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經線成為由圓錐頂點向外放射的直線束，經線間的夾角與相應的經度差成正比。

設球面上兩條經線間的夾角為λ，其投影在平面上為δ，δ與λ成正比，即δ=Cλ（C為常數）。緯線投影為同心圓弧，設其半徑為ρ，它隨緯度的變化而變化，即ρ是緯度j的函式，ρ=f（j）。所以圓錐投影的平面極坐標一般公式為：

如以圓錐頂點S’為原點，中央經線為X軸，通過S’點垂直於X軸的直線為Y軸，則圓錐投影的直角坐標公式為：

x=-rcosd

y=rsind

通常在繪製圓錐投影時，以製圖區域最南邊的緯jS與中央經線的交點為坐標原點，則其直角坐標公式為：

x=rS-rcosd

y=rsind

式中rS為投影區域最南邊緯線jS的投影半徑。

可知，圓錐投影需要決定ρ的函式形式，由於P的函式形式不同，圓錐投影有很多種。c稱為圓錐係數（圓錐常數），它與圓錐的切、割位置等條件有關，對於不同的圓錐投影，它是不同的。但對於某一個具體的圓錐投影，C值是固定的。總的來說，C值小於1，大於0，即0<c<1。當c=1時為方位投影，c=0時為圓柱投影，所以可以說方位投影和圓柱投影都是圓錐投影的特例。

圓錐投影的變形分布規律

圓錐投影的緯線是同心圓弧，經線是同心圓弧的半徑。經緯線是直交的，所以經緯線的長度比就是最大、最小長度比。

可以看出，球面上經線微分弧長AB=Rdj，緯線微分弧長。

AD=rdl=Rcosjdl；

在投影平面上，經線微分線段A’B’=-dρ（dρ帶負號，是因為變數A’B’與動徑SA’的方向相反），緯線微分線段A’D’=ρdδ。根據長度比定義，可得。

由上面幾式可以看出，圓錐投影的各種變形都是緯度j的函式，與經度λ無關。也就是說，圓錐投影的各種變形是隨緯度的變化而變化，在同一條緯線上各種變形的數值各自相等，因此，等變形線與緯線平行，呈同心圓弧狀分布。在切圓錐投影上，相切的緯線是一條沒有變形的線，稱為標準緯線，從標準緯線向南、北方向變形逐漸增大。

在割圓錐投影上，球面與圓錐面相割的兩條緯線，是標準緯線，在兩條標準緯線之間的緯線長度比小於1，兩條標準緯線以外的緯線長段比大於1，離標準緯線愈遠，變形愈大。

根據圓錐投影變形分布情況，這種投影適於製作中緯度沿東西方向延伸地區的地圖。由於地球上廣大陸地位於中緯度地區，又因為圓錐投影經緯線網形狀比較簡單，所以它被廣泛套用於編制各種比例尺地圖。

圓錐投影按變形性質可以分為等角、等積和任意（其中所謂等距投影是任意投影的一種）三類投影。無論哪一種均有切圓錐與割圓錐之分。

等角圓錐投影

簡介

等角圓錐投影的條件是使地圖上沒有角度變形，即ω=0。為了保持等角條件，必須使圖上任一點的經線長度比與緯線長度比相等，即m=n。在切圓錐投影上，相切的緯線為標準緯線，其長度比等於1；從標準緯線向南、北方向緯線長度比均大於1，因而經線長度比也要相應的擴大，使其值與緯線長度比相等。表2-11為標準緯線j0=35°的等角圓錐投影變形數值表。從這個表中可以看出，在單標準緯線等角圓錐投影中，標準緯線沒有變形；從標準緯線向南、北方向變形逐漸增加，但在距離標準緯線緯差相同的地方，變形數值是不等的，標準緯線以北比標準緯線以南變形增加的要快些。

在割圓錐投影上，相割的兩條緯線為標準緯線，其長度比等於1；兩條標準緯線之間，緯線長度比小於1，因而經線長度比也要相應的小；兩條標準緯線之外，緯線長度比大於1，經線長度比也要相應的大，同時使任一點上經線長度比與緯線長度比相等。表2-12為標準緯線j1=25°、j2=45°的等角割圓錐投影各種變形數值表。從表中數值可以看出，在雙標準緯線等角圓錐投影上，兩條標準緯線沒有變形；在兩條標準緯線之間長度變形是向負的方向增加，即投影后的經緯線長度均比地面上相應的經緯線長度縮短了；在兩條標準緯線以外長度變形向正的方向增加，即投影后的經緯線長度均比地面上相應的經緯線長度伸長了。面積變形也是如此，在兩條標準緯線以內是負向變形，在兩條標準緯線以外是正向變形。變形增加的速度也是北邊比南邊快些。

套用

等角圓錐投影套用很廣。如我國地圖出版社1957年出版的《中華人民共和國地圖集》中的分省地圖是採用這種投影編制的，兩條標準緯線的緯度為j1=25°，j2=45°；1981年出版的《中華人民共和國地圖集》中，分省地圖採用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的雙標準緯線等角圓錐投影；1960年和1972年出版的《世界地圖集》中大多數分國地圖均採用了等角圓錐投影。世界上有些國家，如法國、比利時、西班牙等國都曾採用這種投影作為地形圖的數學基礎。此外，西方國家出版的許多掛圖、地圖集中亦廣泛採用等角圓錐投影。

1962年聯合國於波恩舉行的世界百萬分之一國際地圖技術會議制定的規範建議，新編國際百萬分之一地圖採用雙標準緯線等角圓錐投影。這樣可使世界1∶100萬普通地圖與1∶100萬世界航空圖的數學基礎一致。該投影自赤道起按緯差4°分帶。北緯84°以北和南緯80°以南採用等角方位投影。

根據中華人民共和國國家標準1993年的《1：100萬地形圖編繪規範及圖式 GB/T 14512--93》，規定採用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的等角割圓錐投影，作為1∶100萬分幅地形圖的數學基礎。也是按緯差4°分帶，每個投影帶的兩條標準緯線近似為j1=jS+30’，j2=jN-30’（jS為每一帶最南邊緯線的緯度，jN為每一帶最北邊緯線的緯度），各帶長度變形最大值為±0.03%，面積變形最大值為±0.06%。

等積圓錐投影

簡介

等積圓錐投影的條件是使地圖上沒有面積變形，即P=1。為了保持等積條件，必須使投影圖上任一點的經線長度比與緯線長度比互為倒數，即m=1/n。

在切圓錐投影上，相切的緯線為標準緯線，其長度比等於1；從標準緯線向南、北方向緯線長度比均大於1，因而經線長度比要相應的小，其值是緯線長度比的倒數。在割圓錐投影上，相割的兩條緯線為標準緯線，其長度比等於1；兩條標準緯線之間，緯線長度比小於1，因而經線長度比要相應的大；兩條標準緯線之外，緯線長度比大於1，經線長度比要相應的小，同時使任一點上經線長度比與緯線長度比互為倒數。為等積割圓錐投影（標準緯線j1=25°，j2=47°）各種變形數值。從表中數值可以看出，在雙標準緯線等積圓錐投影中，面積沒有變形；兩條標準緯線沒有變形；在兩條標準緯線之內，緯線變形是向負的方向增加，經線變形是向正的方向增加；在兩條標準緯線以外，緯線變形是向正的方向增加，經線變形向負的方向增加。角度變形隨離標準緯線愈遠而愈大。

套用

等積圓錐投影常用以編制行政區劃圖、人口密度圖及社會經濟地圖等。例如中國地圖出版社出版的1∶800萬、1∶600萬和1∶400萬《中華人民共和國地圖》採用了雙標準緯線（j1=25°、j2=47°）等積圓錐投影。以前還曾用過標準緯線為25°和45°以及邊緯線（jS=18°、jN=54°）和中緯線（jM=36°）長度變形絕對值相等的等積圓錐投影。其他國家出版的許多掛圖、桌圖和地圖集中，亦廣泛採用等積圓錐投影。

等距圓錐投影

簡介

等距圓錐投影的條件是沿經線方向長度沒有變形，即m=1。等距切圓錐投影，相切的緯線為標準緯線，沒有變形；從標準緯線向南、北方向緯線長度比大於1，經線長度比等於1，面積變形和角度變形均隨離標準緯線愈遠而愈大。等距割圓錐投影，相割的兩條緯線為標準緯線，沒有變形；兩條標準緯線以內，緯線長度比小於1；兩條標準緯線以外，緯線長度比大於1，經線長度比等於1；在兩條標準緯線之內，面積變形向負的方向增加；在兩條標準緯線以外，面積變形向正的方向增加，角度變形隨離標準緯線愈遠，變形愈大。表2-14為雙標準緯線（j1=25°、j2=47°）等距圓錐投影各種變形數值。

特點及套用

等距圓錐投影上雖然具有長度、面積和角度變形，但變形值卻比較小，它的角度變形小於等積圓錐投影，面積變形小於等角圓錐投影。

等距圓錐投影在我國出版的地圖中不常見。在國外則有用的。例如蘇聯出版的蘇聯全圖，一般常用j1=47°、j2=62°的等距割圓錐投影。

幾種圓錐投影變形性質的圖形判別

圓錐投影經緯線形式具有共同的特徵。經線為放射狀直線，夾角相等；緯線為同心圓弧。如果地圖上沒有註明變形性質，則可以根據一條經線上的緯線間隔變化來判斷。

緯線為同心圓弧，其長度比從圖上不易直接觀察出來。但是經線是同心圓弧的半徑——直線。由於投影的變形性質不同，經線長度比就不同，它在圖形上表現為緯線間隔的變化是不一樣的。根據表2-15可以得出以下結論：沿著經線量取緯差相等的緯線間隔，從地圖中心向南、北方向逐漸擴大者，為等角圓錐投影；若緯線間隔從地圖中心向南、北方向逐漸縮小者，為等積圓錐投影；緯線間隔相等者，則為等距圓錐投影。