伴隨勒讓德多項式

伴隨勒讓德多項式(Associated Legendre polynomials,又譯締合勒讓德多項式、連帶勒讓德多項式、關聯勒讓德多項式)是數學上對常微分方程解函式序列的稱呼,在數學和理論物理學中有重要的意義。

基本介紹

  • 中文名:伴隨勒讓德多項式
  • 外文名:Associated Legendre polynomials
  • 分類:數學物理、微分方程
  • 領域:數理科學
定義,正交性,與勒讓德多項式的關係,與超幾何函式的關係,負數階連帶勒讓德多項式,與球諧函式的關係,

定義

數學上對如下形式常微分方程解函式序列:
該方程是在球坐標系下求解拉普拉斯方程時得到的,因上述方程僅當
均為整數且滿足
時,才在區間 [−1, 1] 上有非奇異解,所以通常把
均為整數時方程的解稱為伴隨勒讓德多項式;把
為一般實數或複數時方程的解稱為廣義勒讓德函式(generalized Legendre functions)。
為整數時,方程的解即為一般的勒讓德多項式
注意當 m 為奇數時,連帶勒讓德多項式並不是多項式

正交性

與勒讓德多項式一樣,伴隨勒讓德多項式在區間 [-1,1] 上也滿足正交性。
這是因為,與勒讓德方程一樣,伴隨勒讓德方程也是施圖姆-劉維爾型的:
正交性的另一種表述如下,它與下面提到的球諧函式有關。

與勒讓德多項式的關係

伴隨勒讓德多項式可以由勒讓德多項式求m次導得到:
等號右邊的上標 (m) 表示求m次導。

與超幾何函式的關係

伴隨勒讓德函式(即 l, m 不一定要是整數)可以用高斯超幾何函式表達為:
注意 μ 為正整數 m 時 1-μ 是伽瑪函式的奇點,此時等號右邊的式子應該理解為當 μ 趨於 m 時的極限。

負數階連帶勒讓德多項式

顯然伴隨勒讓德方程在變換m→-m下保持不變,傳統上習慣定義負數階伴隨勒讓德多項式為:
容易驗證,這樣定義的伴隨勒讓德多項式能夠使得上面的正交關係可以推廣到 m 為負數的情況。
注意在個別文獻(如圖1)中會直接取
伴隨勒讓德多項式
圖1 l=5時連帶勒讓德多項式的圖像

與球諧函式的關係

球諧函式球坐標下三維空間拉普拉斯方程的角度部分的解,構成一組完備的基組,有著重要的意義。採用本文中定義的伴隨勒讓德多項式的表達式,球諧函式可以表達為:
由伴隨勒讓德多項式的正交關係可以直接得到球諧函式的正交關係:
式中 dΩ 是立體角元。

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