勒讓德函式

簡介

在數學中，勒讓德函式P_λ，Q_λ和相關的勒讓德函式P_λ，Q_λ是勒讓德多項式與非整數度的泛化。

相關的勒讓德函式是勒讓德方程的解

其中複數λ和μ分別稱為相關的勒讓德函式的度數和順序。勒讓德多項式是階數μ= 0的勒讓德函式。

這是一個具有三個常規奇異點（在1，-1和∞）的二階線性方程。像所有這樣的等式，它可以通過變數的變化被轉換為超幾何微分方程，並且其解可以用超幾何函式來表示。

這些功能實際上可以用於一般複雜參數和參數：

分母中包含伽馬函式，₂F₁是超幾何函式。

二階微分方程具有第二個解，其定義為Q^μ_λ（z）。

勒讓德P和Q函式之間有用的關係是Whipple的公式。

勒讓德函式可以寫成輪廓積分。例如，

其中輪廓沿正方向繞著點1和z旋轉，並且不繞-1。對於真正的x，我們有

P_s的真實積分表示在L¹（G / / K）其中 G // K是SL（2，R）的雙陪集空間（見區域球面功能）。實際上，L（G / / K）上的傅立葉變換由

其中，

勒讓德多項式是下列勒讓德微分方程的多項式解：

其中n 為正整數。

勒讓德多項式的生產函式為

前幾個勒讓德多項式：

勒讓德多項式在（-1,1）取決滿足如下的正交關係式：

其中F為超幾何函式，v非整數。如v為整數，則解為勒讓德多項式