Legendre多項式

勒讓德方程的解可寫成標準的冪級數形式。當方程滿足 |x| < 1 時，可得到有界解（即解級數收斂）。並且當n 為非負整數，即n = 0, 1, 2,... 時，在x = ± 1 點亦有有界解。這種情況下，隨n 值變化方程的解相應變化，構成一組由正交多項式組成的多項式序列，這組多項式稱為勒讓德多項式（Legendre polynomials）。

基本介紹

• 中文名：Legendre多項式
• 外文名：Legendre polynomial
• 套用學科：數學
• 所屬領域：數學
• 作用：解答微分方程
• 相關術語：勒讓德方程

定義

數學上，勒讓德函式指以下勒讓德微分方程的解：

為求解方便一般也寫成如下施圖姆-劉維爾形式（Sturm-Liouville form）:

上述方程及其解函式因法國數學家阿德里安-馬里·勒讓德而得名。勒讓德方程是物理學和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程。當試圖在球坐標中求解三維拉普拉斯方程（或相關的其他偏微分方程）時，問題便會歸結為勒讓德方程的求解。

勒讓德方程的解可寫成標準的冪級數形式。當方程滿足 |x| < 1 時，可得到有界解（即解級數收斂）。並且當n為非負整數，即n= 0, 1, 2,... 時，在x= ± 1 點亦有有界解。這種情況下，隨n值變化方程的解相應變化，構成一組由正交多項式組成的多項式序列，這組多項式稱為勒讓德多項式（Legendre polynomials）。

勒讓德多項式P_n(x)是n階多項式，可用羅德里格公式表示為：

正交性

勒讓德多項式的一個重要性質是其在區間 −1 ≤x≤ 1 關於L內積滿足正交性，即：

其中 δ_mn為克羅內克δ記號，當m=n時為1，否則為0。 事實上，推導勒讓德多項式的另一種方法便是關於前述內積空間對多項式{1,x,x, ...}進行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因為如前所述，勒讓德微分方程可化為標準的Sturm-Liouville問題：

其中本徵值 λ 對應於原方程中的n(n+1)。

其他性質

奇偶性

當階數k為偶數時， 為偶函式；當階數k為奇數時， 為奇函式，即：

遞推關係

相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關係式：

另外，考慮微分後還有以下遞推關係：

其中最後一個式子在計算勒讓德多項式的積分中較為有用。

移位多項式

移位勒讓德多項式的正交區間定義在[0,1]上，即：

其顯式表達式為：

相應的羅德里格公式為：

分數階多項式

分數階勒讓德多項式通過將分數階微分（定義參見分數微積分理論）和通過Γ函式定義的非整數階乘代入羅德里格公式中來定義。

極限關係

大Q勒讓德多項式→勒讓德多項式

令大q雅可比多項式中的c=0，即勒讓德多項式

令連續q勒讓德多項式q->1得勒讓德多項式

小q勒讓德多項式→勒讓德多項式