球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙相互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學里，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。

基本介紹

  • 中文名：球對稱位勢
  • 外文名：Particle in a spherically symmetric potential
  • 領域：量子力學
簡介,薛丁格方程,角部分解答,徑向部分解答,參閱,

簡介

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙相互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學里，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程表達為
其中，
是普朗克常數，
是粒子的質量，
是粒子的波函式，V是位勢，r是徑向距離，E是能量。
由於球對稱位勢V(r)只與徑向距離有關，與天頂角
、方位角
無關，為了便利分析，可以採用球坐標
來表達這問題的薛丁格方程。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛丁格方程

採用球坐標
，將拉普拉斯運算元
展開：
滿足薛丁格方程的本徵函式
的形式為：
其中，
，
，
，都是函式。
與
時常會合併為一個函式，稱為球諧函式，
。這樣，本徵函式
的形式變為：

角部分解答

參數為天頂角
、方位角
的球諧函式
，滿足角部分方程
其中，非負整數
是角動量的角量子數。m（滿足
）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的
與m給予不同的球諧函式解答
：
其中，i是虛數單位，
是伴隨勒讓德多項式，用方程定義為
而
是
階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

徑向部分解答

將角部分解答代入薛丁格方程，則可得到一個一維的二階微分方程：
設定函式
。代入方程(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到
徑向方程變為
其中，有效位勢
。
這正是函式為
，有效位勢為
的薛丁格方程。徑向距離r的定義域是從0到
。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

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