有限深方形阱

在量子力學里，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。

在經典力學里，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裡，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

基本介紹

• 中文名：有限深方形阱
• 外文名：Finite potential well
• 領域：量子力學

一維阱定義

一維有限深方形阱的阱寬為，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為與。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為。阱外位勢保持為。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函式也不同，標記為：

：阱左邊，（阱外區域），

：阱內，（阱內區域），

：阱右邊，（阱外區域）。

這些波函式，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程：

其中，是約化普朗克常數，是粒子質量，是粒子位置，是位勢，是能量。

阱內區域

在阱內，位勢，方程簡化為：

設定波數為

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函式是正弦函式與餘弦函式的線性組合：

其中，與都是復值常數，由邊界條件而決定。

阱外區域

在阱外，位勢，薛丁格方程為：

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

束縛態

假若，粒子的能量小於位勢：，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

代入方程：

一般解是指數函式。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函式分別是

其中，F，G，H，I都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數A，B，F，G，H，I的值。

束縛態的波函式

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函式的形式為：

：阱左邊，（阱外區域），

：阱內，（阱內區域），

：阱右邊，（阱外區域）。

當x趨向負無窮，包含F的項目趨向無窮。類似地，當x趨向無窮，包含{I的項目趨向無窮。可是，波函式在任何x都必須是有限值。因此，必須設定I=0。阱外區域的波函式變為

在阱左邊，隨著x越小，波函式呈指數遞減。而在阱右邊，隨著x越大，波函式呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函式才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於x=0，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函式不是奇函式就是偶函式。

奇的波函式

假若，波函式是奇函式，則

由於整個波函式必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函式的函式值與導數值都必須相配：

將波函式的公式代入：

可以得到：

可以求得常數與波數的關係：

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

這也造成了離散的能量。

偶的波函式

假若，波函式是偶函式，則

由於整個波函式必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函式的函式值與導數值都必須相配：

將波函式的公式代入：

可以得到：

可以求得常數與波數的關係：

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

這也造成了離散的能量。

散射態

假若，一個粒子的能量大於位勢，，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裡，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於的任意值。波數，用方程表達為，也不是離散量。代入方程：

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

其中，、、、，都是常數。

參閱

• 自由粒子
  
• 無限深方形阱
  
• 有限位勢壘
  
• 球對稱位勢
  
• Delta位勢阱
  
• Delta位勢壘
  
• 量子隧穿效應