Delta位勢壘

在量子力學里，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函式，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書里，這是一個常見的習題。

基本介紹

• 中文名：Delta位勢壘
• 外文名：Delta potential
• 領域：量子力學

定義

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

圖1.對於一個Delta位勢壘的散射

其中， 是約化普朗克常數， 是粒子質量， 是粒子位置， 是能量， 是波函式， 是位勢，表達為

其中， 是狄拉克Delta函式， 是狄拉克Delta函式的強度。

導引

這位勢壘將一維空間分為兩個區域： 與 。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函式的疊加（參閱自由粒子）：

其中， 、 、 、 都是必須由邊界條件決定的常數，下標 與 分別標記波函式往右或往左的方向。 是波數。

由於 ， 與 都是行進波。這兩個波必須滿足在 的邊界條件：

特別注意第二個邊界條件方程，波函式隨位置的導數在 並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有 這么多。這方程的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於{\displaystyle x=0\,\!}的一個非常小的鄰域：

其中， 是一個非常小的數值。

在 的極限，這項目往著0去。

左邊是

根據狄拉克Delta函式的定義，

而在 的極限，

稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程：在

從這兩個邊界條件方程。稍加運算，可以得到以下方程：

反射與透射

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間， 或 。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定 ， ， ， 。求算反射的機率幅 與透射的機率幅 ：

反射係數是

透射係數是

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子隧穿效應；在經典力學裡，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

• 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
  
• 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函式的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。
  

參閱

• 自由粒子
  
• 無限深方形阱
  
• 有限深方形阱
  
• 有限位勢壘
  
• 球對稱位勢
  
• Delta位勢阱
  
• 量子隧穿效應