分母有理化

分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà）(Rationalize the denominator），又稱"有理化分母"，指的是在二次根式中分母原為無理數，而將該分母化為有理數的過程，也就是將分母中的根號化去。

基本介紹

• 中文名：分母有理化
• 外文名：Rationalize the denominator
• 作用：分母有理化，會使根式的運算簡便
• 方法：分解約簡法
• 適用人群：國中、高中階段
• 學科：數理科學

定義

分母有理化，簡稱有理化，指的是將該原為無理數的分母化為有理數的過程，也就是將分母中的根號化去。有理化後通常方便運算，有理化的過程可能會影響分子，但分子及分母的比例不變。

單項式

套用一般根號運算：

二項式

套用平方差公式：

套用立方和、立方差公式：

多項式

逐項有理化

輾轉相除法

設 有理化

待定係數法

，求

設

常規方法

下面介紹兩種分母有理化的常規方法，基本思路是把分子和分母都乘以同一個適當的代數式，使分母不含根號。

分母是一個單項式

例如二次根式 ，下面將之分母有理化：

分子分母同時乘以√2,分母變為2，分子變為2√2，約分後，分數值為√2。在這裡我們想辦法把√2化為有理數，只要變為它的平方即可。

分母是一個多項式

再舉一個分母是多項式的例子，如 ，下面將之分母有理化：

思路仍然是將分子分母同乘相同數。這裡使用平方差公式,同時乘上√2+1，分子變為2√2+2，分數值為2√2+2，再約分即可。也就是說，為了有理化多項式的分母，原來分母是減號，我們乘上一個數字相同但用加號連線的式子，再用平方差公式。

此方法可套用到根式大小比較中去。

特殊方法

下面有一些特殊的方法供參考！

分解約簡法

將 分母有理化：

這裡我們將分母分解因式後提取出來，這樣避免採用平方差公式分解。這種方法較適用於分子分母含有公因式時。

配方約簡法

將 分母有理化：

這裡我們將分子化成平方式，然後利用完全平方公式配方，再和分母約分，這樣避免採用平方差公式分解。

注意事項

下面舉一個含參數的二次根式：

將 分母有理化：

在這裡我們將分子用平方差公式分解因式，然後分解！注意在這裡我們不能將分母乘以 ，因為 有可能等於0，若分情況討論又比較麻煩，此時我們就應該注意分子和分母的結構關係！

拓展

有理化因式

例如：

將分子、分母同時乘以分母的有理化因式。

有理化因式舉例

如√a的有理化因式是正負√a，√a+√b的有理化因式是

√a-√b或√b-√a.